Heat transfer and MHD flow of non-newtonian Maxwell fluid through a parallel plate channel: analytical and numerical solution

Rahbari, Alireza; Abbasi, Morteza; Rahimipetroudi, Iman; Sundén, Bengt; Domiri Ganji, Davood; Gholami, Mehdi

doi:https://doi.org/10.5194/ms-9-61-2018

文章|第9卷第1期

https://doi.org/10.5194/ms-9-61-2018

©作者2018。这项工作分布在
知识共享署名3.0许可。

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文章|第9卷第1期

研究文章

2018年2月14日

研究文章|

| 2018年2月14日

非牛顿麦克斯韦流体通过平行平板通道的传热和MHD流动：解析和数值解

阿里雷扎·拉巴里, 莫特扎·阿巴斯, 伊曼·拉希米佩特鲁迪, 本特·桑登, 达沃德·多米里·甘吉, 和梅迪·戈拉米

摘要

已经进行了分析和数值分析，以研究磁流体力学（MHD）流动和传热问题平行板通道中的上反麦克斯韦流体。政府连续性方程、动量方程和能量方程简化为两个普通方程通过引入相似变换形成微分方程。这个同伦分析法（HAM）、同伦摄动法（HPM）和采用四阶龙格-库塔数值方法（NUM）求解问题。此外，还计算并显示了速度场和温度场以图形方式显示物理参数的各种值。的目标目前的工作是调查黛博拉数的影响(扩散系数)，哈特曼电子数(哈)，雷诺数(重新_w个)和Prandtl编号(公共关系)关于速度和温度场。作为一项重要成果，可以观察到增加哈特曼数会导致速度值降低而增加Deborah数对速度的影响可以忽略不计增量。

如何引用

如何引用。

日期

收到日期：2017年4月23日–修订日期：2017年11月13日–接受日期：2017年12月12日–发布日期：2018年2月14日

1 介绍

非牛顿流体流动是一个快速发展的研究领域，因为其在不同的工程领域中的各种应用（Rivlin和Ericksen，1955). 这种流体的问题是没有一种由于各种流变参数出现的本构方程流体。因此，不同的模型以（i）微分型，（ii）速率型和（iii）积分型（Hayat和Awais，2011年；Hayat等人，2012年）。具有弹性和粘度特性是流体中的一个基本课题动力学。这种材料被称为麦克斯韦流体（Mukhopadhyay，2012；Adegbie等人，2015）。此模型分类为速率型流体子类可以预测应力松弛。上部对流麦克斯韦（UCM）模型是麦克斯韦材料的推广对于大变形情况，使用上对流时间导数。

一些研究人员研究了MHD流在不同的工业应用（Recebli等人，2013年、2015年；Selimli等人al.，2015年；Hayat等人，2017年）。查阅文献表明磁流体通过平行通道的重要性。Hayat等人（2006）第一个研究上对流麦克斯韦（UCM）磁流体动力学流动的人使用同伦分析方法（HAM）在多孔拉伸板上的流体。Raftari和Yildirim（2010）提出了一种新的分析模型（同伦论用摄动法（HPM）分析（Hayat）研究的同一问题等人，2006年）。从非旋转流切换到旋转流作者：Sajid etal.（2011）。他们通过以下方式提高了这一领域的知识考虑旋转参数对整体性能的影响UCM。他们得出结论，旋转参数有助于控制边界层厚度。与使用的分析技术相比（Hayat等人，2006年；Raftari和Yildirim，2010年），Abel等人（2012年）提出了一种四阶龙格-库塔方法来检验UCM Maxwell在拉伸板上的MHD流。这些研究的重点是关于沿平板施加的无滑移边界条件。因此，Abbasi和Rahimipetroudi（2013）旨在改进该领域的模型通过HPM考虑UCM-Maxwell流体的滑移边界条件。Nadeem等人（2014）为现有模型增加了更多复杂性。他们研究了麦克斯韦MHD边界层流动的性能纳米流体。Afify和Elgazery（2016）将问题扩展到Nadeem等人（2014）将化学反应添加到他们的模型中。在一个最近的研究，热辐射的影响（Hayat等人，2011b）和对UCM的MHD流进行了传质研究（Hayat等人，2011a）通道壁中有孔隙的流体。

近几十年来，人们曾多次尝试开发分析方法用于求解此类非线性方程。HPM等分析技术（Abbasi和Rahimipetroudi，2013；He，2000；Abbasi等人，2014）和HAM（Hayat等人，2006；Abbasi等人，20142016；Turkyilmazoglu，2011）已成功应用于解决多种类型的非线性问题。目标本研究的目的是研究物理参数对稳态的影响通道中存在上切向麦克斯韦流体的流动外部磁场。此外，级数解的收敛性也进行了明确的讨论。从分析中获得的结果将解与数值数据进行了比较揭示了同伦的能力、有效性和便利性中的分析方法（HAM）和同伦摄动方法（HPM）解决所述问题。最后，主要参数对本文讨论了平行板中UCM的MHD流动和传热。

2 问题陈述和数学公式

图1显示了磁流体力学（MHD）的示意图平行板通道中不可压缩UCM流体的流动。如图所示x个^∗-轴线沿通道中心线截取，平行于通道表面，以及年^∗-轴是横向的。这个层间区域包含不可压缩的二维稳定层流UCM粘弹性流体流动。流量在中是对称的X（X）-轴方向。这个在流体吸入和喷射的通道中发生稳态流动以速度在两个板块发生V（V）_w个.流体喷射吸力通过墙壁进行V（V）_w个>0代表抽吸和V（V）_w个<0代表注射。渠道的墙壁位于 $年^{*} = H（H）$ 和 $年^{*} = - H（H）$ （其中2H（H）是通道高度）。在这里u个^∗和v（v）^∗是x个^∗和年^∗方向。

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图1考虑的示意图和坐标系流量。

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均匀磁场，B类₀，是沿着年^∗-轴。这个麦克斯韦流体的本构方程为（Bég和Makinde，2010）：

\begin{matrix} (1) & τ + λ_{1} \hat{τ} = μ_{0} γ \end{matrix}

哪里τ,λ₁,μ₀和γ是额外的吗应力张量、松弛时间、低剪切粘度和应变率张量。应力的上对流时间导数张量 $\hat{τ}$ 由以下人员制定：

\begin{matrix} (2) & \hat{τ} = \frac{\partial τ}{\partial t吨} + v（v） \cdot \nabla τ - {(\nabla v（v）)}^{吨} \cdot τ - τ \cdot \nabla v（v） \end{matrix}

哪里t吨,v（v）,(⋅)^吨和∇v（v）表示时间、速度向量、张量转置和流体速度梯度张量，分别是。UCM流体的控制方程采用以下形式通过实施公式（1）和（2）中的剪切应力应变张量（Wehgal和Ashraf，2012；Hayat和Wang，2003）：

\begin{array}{l} (3) & \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*}} + \frac{\partial ν^{*}}{\partial 年^{*}} = 0 \\ {u个}^{*} \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*}} + {v（v）}^{*} \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial 年^{*}} + λ [{u个}^{* 2} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial {x个}^{* 2}} + {v（v）}^{* 2} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial 年^{* 2}} \\ + 2 {u个}^{*} {v（v）}^{*} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*} \partial 年^{*}}] \\ (4) & = υ \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial 年^{* 2}} + J型 \times B类, \\ (5) & \nabla \cdot B类 = 0, \\ (6) & \nabla \times B类 = μ_{米} J型, \\ (7) & \nabla \times E类 = 0, \\ (8) & J型 = σ_{e（电子）} (E类 + V（V） \times B类) \end{array}

哪里ρ,∇,ϑ,第页,J型,B类,b条,μ_米,E类,σ_{e（电子）}是流体密度、nabla算子、运动学粘度、压力、电流密度、总磁场（以便 $B类 = {B类}_{0} + b条$ ,b条是感应磁场）、磁导率、场，流体的电导率。制服恒定磁场B类沿着年^∗-方向。因为磁雷诺数被认为很小（Shereliff，1965年），感应磁场b条被忽略。假设由于电荷（即霍尔）的极化，电场可以忽略不计效果）。在这些假设下，方程式（2）中出现的MHD体力采用以下形式（Rossow，1958；Ganji等人，2014）：

\begin{matrix} (9) & J型 \times B类 = σ_{e（电子）} [(V（V） \times B类) \times {B类}_{0}] = - σ {B类}_{0}^{2} {u个}^{*} \end{matrix}

重写方程（3）和（4），以计算导电性均匀磁场下的不可压缩流体，如下所示：

\begin{array}{l} (10) & \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*}} + \frac{\partial ν^{*}}{\partial 年^{*}} = 0 \\ {u个}^{*} \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*}} + {v（v）}^{*} \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial 年^{*}} + λ [{u个}^{* 2} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial {x个}^{* 2}} + {v（v）}^{* 2} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial 年^{* 2}} \\ + 2 {u个}^{*} {v（v）}^{*} \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial {x个}^{*} \partial 年^{*}}] \\ (11) & = υ \frac{\partial^{2} {u个}^{*}}{\partial 年^{* 2}} - \frac{σ {B类}_{0}^{2}}{ρ} {u个}^{*}, \end{array}

为了完成问题的表述，边界条件需要指定。适当的无滑移边界条件为与（Bég和Makinde，2010）相同，由于对称性形式：

\begin{array}{l} (12) & 年^{*} = 0 : \frac{\partial {u个}^{*}}{\partial 年^{*}} = 0, \\ (13) & 年^{*} = H（H） : {u个}^{*} = 0, {v（v）}^{*} = {V（V）}_{w个} . \end{array}

引入了以下无量纲变量：

\begin{matrix} (14) & x个 = \frac{{x个}^{*}}{H（H）}; 年 = \frac{年^{*}}{H（H）}; {u个}^{*} = - {V（V）}_{w个} x个 {（f）}^{'} (年) \end{matrix}

使用公式（10）和（14）得出：

\begin{matrix} (15) & {v（v）}^{*} = {V（V）}_{w个} （f） (年) \end{matrix}

将无量纲参数代入动量方程导致收件人：

\begin{array}{l} {（f）}^{'''} - {M（M）}^{2} {（f）}^{'} + {重新}_{w个} ({（f）}^{'}^{2} - （f） {（f）}^{''}) \\ (16) & + 扩散系数 (2 （f） {（f）}^{'} {（f）}^{''} - {（f）}^{2} {（f）}^{'''}) = 0 \end{array}

给出了无量纲形式的边界条件（12）和（13签署人：

\begin{array}{l} 年 = 0 : {（f）}^{''} = 0; （f） = 0 \\ (17) & 年 = 1 : {（f）}^{'} = 0; （f） = 1 \end{array}

虽然所提出的微分方程（16）是三阶的方程（17）中给出了边界条件。为了满足所有边界条件，三阶微分方程（16）为区别如下：

\begin{array}{l} （f）^{''''} - {M（M）}^{2} {（f）}^{''} + {重新}_{w个} ({（f）}^{'} {（f）}^{''} - （f） {（f）}^{'''}) \\ (18) & + 扩散系数 (2 {（f）}^{'}^{2} {（f）}^{''} + 2 （f） {（f）}^{''}^{2} - {（f）}^{2} （f）^{''''}) = 0 \end{array}

哪里重新_w个,扩散系数和M（M）是雷诺数，Deborah数和Hartman数分别定义为：

\begin{matrix} (19) & {重新}_{w个} = \frac{{V（V）}_{w个} H（H）}{υ}, 扩散系数 = \frac{λ {V（V）}_{w个}^{2}}{υ}, M（M） = \sqrt{\frac{σ B类_{0}^{2} H（H）}{μ}} \end{matrix}

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图2这个ℏ₁–有效期M（M）=0,扩散系数 = 0.4,重新_w个 = 5和公共关系 = 0.9由4、5、6和7阶给出解决方案。

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图3这个ℏ₁–有效期M（M）=0.1,扩散系数 = 0.1,重新_w个 = 5和公共关系 = 0.9由4、5、6和7阶给出解决方案。

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图4这个ℏ₂–有效期M（M）=0,扩散系数 = 0.3,重新_w个 = 5和公共关系 = 4由4、5、6和7阶给出解决方案。

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传热问题

通过忽略粘性和欧姆耗散获得的能量如下：

\begin{matrix} (20) & {u个}^{*} \frac{\partial 吨}{\partial {x个}^{*}} + {v（v）}^{*} \frac{\partial 吨}{\partial 年^{*}} = \frac{k个}{ρ {c（c）}_{第页}} (\frac{\partial^{2} 吨}{\partial {x个}^{* 2}} + \frac{\partial^{2} 吨}{\partial 年^{* 2}}), \end{matrix}

哪里吨(x个,年)是任意点的温度k个是热量导电性。与河道水流情况类似，对于大多数实际重要条件下的流体，以下关系式持有：

\begin{matrix} (21) & \frac{\partial^{2} 吨}{\partial {x个}^{* 2}} ≪ \frac{\partial^{2} 吨}{\partial 年^{* 2}}, \end{matrix}

等式（20）右侧的第一项可以忽略与第二个相比，能量方程可以近似为：

\begin{matrix} (22) & {u个}^{*} \frac{\partial 吨}{\partial {x个}^{*}} + {v（v）}^{*} \frac{\partial 吨}{\partial 年^{*}} = \frac{k个}{ρ {c（c）}_{第页}} (\frac{\partial^{2} 吨}{\partial 年^{* 2}}), \end{matrix}

假设水流是对称的，因此适当的边界条件对于上面的方程是

\begin{array}{l} (23) & 年^{*} = 0 \to \frac{\partial 吨}{\partial 年^{*}} = 0 \\ (24) & 年^{*} = H（H） \to 吨 = 吨_{w个} \end{array}

无量纲变量定义为：

\begin{matrix} (25) & 年 = \frac{年^{*}}{H（H）}; θ = \frac{吨}{吨_{w个}} \end{matrix}

插入式（14）和（25）中所述的无量纲参数式（22）–（24）的结果如下：

\begin{array}{l} (26) & θ^{''} - 公共关系 （f） θ = 0, \\ (27) & 年 = 1 \to θ (年) = 1 \\ (28) & 年 = 0 \to θ^{'} (年) = 0 \end{array}

哪里 $公共关系 = \frac{μ {c（c）}_{第页}}{k个}$ 表示Prandtl编号。

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图5用HAM、HPM和数值方法（NUM）预测不同情况下的无量纲速度重新_w个数字和扩散系数在公共关系 =1, $ℏ = - 1.5$ .

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图6的影响扩散系数速度等值线上的Deborah数M（M）=1,公共关系 = 1,重新_w个=3.

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图7的影响M（M）速度轮廓上的哈特曼数扩散系数 =0.2,公共关系 = 1,重新_w个=3.

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图8用分析和数值方法（NUM）预测不同温度下的无量纲温度扩散系数Deborah编号M（M）=1,重新_w个=3,公共关系 = 1, $ℏ = - 1.5$ .

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图9用分析和数值方法（NUM）预测不同温度下的无量纲温度M（M）哈特曼数扩散系数 = 0.2,重新_w个=2,公共关系 = 1, $ℏ = - 1$ .

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图10通过分析和数值方法（NUM）预测不同情况下的无量纲温度公共关系Prandtl编号M（M）=1,重新_w个=3,扩散系数 = 0.3, $ℏ = - 1$ .

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三分析方法

3.1 同伦摄动方法的实现

在本节中，我们使用HPM求解方程（2）的边界条件等式（3）。可以构造等式（2）的同伦函数，如（He，2000）所述：

\begin{array}{l} H（H） (（f）, 第页) = (1 - 对) [（f）^{''''} (η) - 克_{0} (年)] + 第页 \{{（f）}^{''''} - {M（M）}^{2} {（f）}^{''} \\ + {重新}_{w个} ({（f）}^{'} {（f）}^{''} - （f） {（f）}^{'''}) \\ (29) & 扩散系数 (2 {（f）}^{'}^{2} {（f）}^{''} + 2 （f） {（f）}^{''}^{2} - {（f）}^{2} {（f）}^{''''})\} = 0, \\ H（H） (θ, 第页) = (1 - 对) [θ^{''} (年) - 克_{0} (年)] \\ (30) & + 第页 [θ^{''} - 公共关系 （f） θ] = 0, \end{array}

哪里 $第页 \in [0, 1]$ 是嵌入参数。对于第页=0和第页=1其中一个具有：

\begin{array}{l} （f） (年, 0) = {（f）}_{0} (年), （f） (年, 1) = （f） (年) \\ (31) & θ (年, 0) = θ_{0} (年), θ (年, 1) = θ (年) \end{array}

请注意，当第页从0增加到1，（f）(年 , 第页),θ(年,第页)不同于（f）₀（年）,θ₀（年）到（f）（年）,θ（年）.

\begin{array}{l} （f） (年) = {（f）}_{0} (年) + 第页 {（f）}_{1} (年) + {第页}^{2} {（f）}_{2} (年) + \dots \\ = \sum_{我 = 0}^{n个} {第页}^{我} {（f）}_{我} (年), 克_{0} = 0 \\ θ (年) = θ_{0} (年) + 第页 θ_{1} (η) + {第页}^{2} θ_{2} (年) + \dots \\ (32) & = \sum_{我 = 0}^{n个} {第页}^{我} θ_{我} (年), 克_{0} = 0 \end{array}

通过将等式（32）代入等式（18）和（26），根据权力重新安排第页-项和求解这些方程得到以下条款：

\begin{array}{l} (33) & {（f）}_{0} (年) = 0.5 年^{三} - 1.5 年^{2}, \\ {（f）}_{1} (年) = 0.007440476190 扩散系数 年^{9} \\ - 0.001785714286 (36 . + 2 {重新}_{w个}) 年^{7} \\ - 0.0125000 (2 {M（M）}^{2} - 9 .) 年^{5} \\ + 0.1666666667 (0.300 {M（M）}^{2} - 0.3714285714 \\ + 0.06428571429 {重新}_{w个}) 年^{三} \\ (34) & + (- 0.025 {M（M）}^{2} + 0.00625 - 0.007142857143 {重新}_{w个}) 年 \\ {（f）}_{2} (年) = - 0.000040881 {扩散系数}^{2} {x个}^{15} - {1.16550116610}^{- 25} \\ (- {3.013392810}^{21} {扩散系数}^{2} - {2.23214210}^{20} {DeRe公司}_{w个}) {x个}^{13} \\ - {2.52525210}^{- 25} (- {3.8678510}^{21} {DeM公司}^{2} - {7.907110}^{21} {扩散系数}^{2} \\ - {3.18214210}^{21} {DeRe公司}_{w个} - {4.2857110}^{19} {重新}_{w个}^{2}) {x个}^{11} \\ - {6.61375661410}^{- 25} (\begin{array}{l} {1.035010}^{22} {DeM公司}^{2} + {2.2510}^{20} {M（M）}^{2} {重新}_{w个} \\ + {2.518310}^{22} {扩散系数}^{2} + {1.11810}^{22} 扩散系数 {重新}_{w个} \\ + {4.5010}^{20} {重新}_{w个}^{2} \end{array}) {x个}^{9} \\ - {2.38095230110}^{- 24} (\begin{array}{l} - {4.72510}^{21} {DeM公司}^{2} + {4.510}^{20} {M（M）}^{2} {重新}_{w个} \\ - {3.326710}^{21} {扩散系数}^{2} - {4.28928410}^{21} {DeRe公司}_{w个} \\ - {6.42857143010}^{19} {重新}^{2} + {2.510}^{20} {M（M）}^{4} \end{array}) {x个}^{7} \\ - {1.6666710}^{- 23} (- {1.5010}^{20} {M（M）}^{4} + {1.0854210}^{21} {DeM公司}^{2} \\ - {3.214257710}^{19} {M（M）}^{2} {重新}_{w个} - {8.91987910}^{20} {扩散系数}^{2} +) {x个}^{5} \\ 0.166666666 (\begin{array}{l} - 0.019285 {M（M）}^{4} + 0.14962 {DeM公司}^{2} + 0.0164 {M（M）}^{2} {重新}_{w个} \\ + 0.007946 {扩散系数}^{2} + 0.0104 {DeRe公司}_{w个} \\ + 0.0040630 {重新}_{w个}^{2} \end{array}) {x个}^{三} \\ + (0.001309 {M（M）}^{4} - 0.0122 扩散系数 {M（M）}^{2} \\ - 0.002053 {M（M）}^{2} {重新}_{w个} - 0.009762 {扩散系数}^{2} \\ (35) & - 0.001906 DeRe公司 - 0.00054 {重新}_{w个}^{2}) x个 \\ ⋮ \\ (36) & θ_{0} (年) = 1 \\ (37) & θ_{1} (年) = - 0.025 公共关系 年^{5} + 0.25 公共关系 年^{三} - 0.225 公共关系 \\ θ_{2} (年) = 0.0000676 \\ 公共关系 扩散系数 年^{11} + 0.0001388 {公共关系}^{2} 年^{10} - 0.00089283 公共关系 扩散系数 年^{9} \\ - 0.000049603 公共关系 {x个}^{9} {重新}_{w个} \\ - 0.00285714 年^{8} {公共关系}^{2} - 0.000595552 公共关系 {x个}^{7} {M（M）}^{2} \\ + 0.002645789 公共关系 扩散系数 年^{7} - 0.0030959651 公共关系 扩散系数 年^{5} \\ + 0.01250000 {x个}^{6} {公共关系}^{2} + 0.00250000 公共关系 {x个}^{5} {M（M）}^{2} \\ + 0.00562544000 年^{5} {公共关系}^{2} + 0.0010467104 公共关系 扩散系数 年^{三} \\ 0.000535 公共关系 年^{5} {重新}_{w个} - 0.004167 公共关系 {M（M）}^{2} 年^{三} \\ - 0.05625 {公共关系}^{2} 年^{三} + 0.000200507 公共关系 扩散系数 \\ + 0.0408878 {公共关系}^{2} \\ - 0.001190470 公共关系 {重新}_{w个} 年^{三} + 0.0022619 公共关系 {M（M）}^{2} \\ (38) & + 0.000703 公共关系 {重新}_{w个} \\ ⋮ \end{array}

当第页→1，如下所示：

\begin{array}{l} (39) & （f） (年) = \sum_{我 = 0}^{9} 林_{第页 \to 1} {第页}^{我} {（f）}_{我} (年) \\ (40) & θ (年) = \sum_{我 = 0}^{9} 林_{第页 \to 1} {第页}^{我} θ_{我} (年) \end{array}

3.2 同调分析方法的实现

对于HAM解，在以下形式：

\begin{array}{l} (41) & L（左） (（f）) = {（f）}^{''''}, \\ (42) & L（左） (θ) = θ^{''}, \end{array}

通过求解以下方程获得最初猜测的函数方程：

\begin{array}{l} (43) & L（左） (\frac{1}{6} {c（c）}_{1} 年^{三} + \frac{1}{2} {c（c）}_{2} 年^{2} + {c（c）}_{三} 年 + {c（c）}_{4}) = 0, \\ (44) & L（左） ({c（c）}_{5} 年 + {c（c）}_{6}) = 0, \end{array}

边界方程（17）、（27）和（28）为：

\begin{array}{l} (45) & {（f）}_{0} (年) = - \frac{1}{2} 年^{三} + \frac{三}{2} 年, \\ (46) & θ_{0} (年) = 1, \end{array}

让 $对 \in [0, 1]$ 表示嵌入参数和ℏ指示非零辅助参数。因此，以下内容构造了方程。

零阶变形方程

\begin{array}{l} (47) & (1 - 对) L（左） [F类 (年; 第页) - {（f）}_{0} (年)] = 第页 ℏ H（H） (年) N个 [F类 (年; 第页)] \\ (48) & (1 - 对) L（左） [Θ (年; 第页) - θ_{0} (年)] = 第页 ℏ H（H） (年) N个 [Θ (年; 第页)] \\ F类 (0; 第页) = 1; {F类}^{''} (0; 第页) = 0, \\ (49) & F类 (1; 第页) = 1, {F类}^{'} (1; 第页) = 0 \\ (50) & θ (1; 第页) = 1; θ^{'} (0; 第页) = 0 \\ N个 [F类 (年; 第页)] = \frac{{d日}^{4} F类 (年; 第页)}{d日 年^{4}} \\ + 重新 [\frac{d日 F类 (年; 第页)}{d日 年} \frac{{d日}^{2} F类 (年; 第页)}{d日 年^{2}} \\ - F类 (年; 第页) \frac{{d日}^{三} F类 (年; 第页)}{d日 年^{三}}] \\ + 扩散系数 [2 {(\frac{d日 F类 (年; 第页)}{d日 年})}^{2} \frac{{d日}^{2} F类 (年; 第页)}{d日 年^{2}} \\ - 2 F类 (年; 第页) {(\frac{{d日}^{2} F类 (年; 第页)}{d日 年^{2}})}^{2} - F类 (年; 第页)^{2} \frac{{d日}^{4} F类 (年; 第页)}{d日 年^{4}}] \\ (51) & + ({M（M）}^{2}) \frac{{d日}^{2} F类 (年; 第页)}{d日 年^{2}} \\ (52) & N个 [θ (年; 第页)] = \frac{{d日}^{2} θ (年; 第页)}{d日 年^{2}} + 公共关系 F类 (年; 第页) \frac{d日 θ (年; 第页)}{d日 年} \end{array}

对于第页=0和第页=1，其中一个具有：

\begin{array}{l} (53) & F类 (年; 0) = {（f）}_{0} (年) F类 (年; 1) = （f） (年) \\ (54) & θ (年; 0) = θ_{0} (年) θ (年; 1) = θ (年) \end{array}

作为第页然后从0增加到1F类(年;第页),θ(年;第页)不同于（f）₀(年),θ₀(年)到（f）(年),θ(年).根据泰勒定理，F类(年;第页),θ(年;第页)可以扩展为幂级数第页如下：

\begin{array}{l} F类 (年; 第页) = {（f）}_{0} (年) + \sum_{米 - 1}^{\infty} {（f）}_{米} (年) {第页}^{米} \\ (55) & {（f）}_{米} (年) = {\frac{1}{米} \frac{\partial^{米} (F类 (年; 第页))}{\partial {第页}^{米}}|}_{第页 = 0} \\ θ (年; 第页) = θ_{0} (年) + \sum_{米 - 1}^{\infty} θ_{米} (年) {第页}^{米} \\ (56) & θ_{米} (年) = {\frac{1}{米} \frac{\partial^{米} (θ (年; 第页))}{\partial {第页}^{米}}|}_{第页 = 0} \end{array}

那里ℏ选择的方式使该系列收敛在第页=1因此，通过公式（55）和（56）可以得出结论即：

\begin{array}{l} (57) & （f） (年) = {（f）}_{0} (年) + \sum_{米 - 1}^{\infty} {（f）}_{米} (年), \\ (58) & θ (年) = θ_{0} (年) + \sum_{米 - 1}^{\infty} θ_{米} (年), \end{array}

mth级变形方程

这个米四阶变形方程写成：

\begin{array}{l} (59) & L（左） [{（f）}_{米} (年) - χ_{米} {（f）}_{米 - 1} (年)] = ℏ H（H） (年) {R（右）}_{米}^{（f）} (年) \\ (60) & L（左） [θ_{米} (年) - χ_{米} θ_{米 - 1} (年)] = ℏ H（H） (年) {R（右）}_{米}^{θ} (年) \\ {F类}_{米} (0; 第页) = 0; {F类}_{米}^{''} (0; 第页) = 0, \\ (61) & {F类}_{米} (1; 第页) = 0, {F类}_{米}^{'} (1; 第页) = 0 \\ (62) & θ_{米} (1; 第页) = 0; θ_{米}^{'} (0; 第页) = 0 \\ {R（右）}_{米}^{（f）} (年) = {（f）}^{''}_{米 - 1}^{''} + \sum_{k个 = 0}^{米 - 1} [重新 ({（f）}_{米 - 1 - k个}^{'} {（f）}_{k个}^{''} - {（f）}_{米 - 1 - k个} {（f）}_{k个}^{'''}) \\ + 扩散系数 {（f）}_{米 - 1 - k个}^{'} (\sum_{我 = 0}^{k个} (2 {（f）}_{k个 - 我}^{'} {（f）}_{我}^{''})) \\ - 扩散系数 {（f）}_{米 - 1 - k个} (\sum_{我 = 0}^{k个} (2 {（f）}_{k个 - 我}^{''} {（f）}_{我}^{''} + {（f）}_{k个 - 我} {（f）}_{我}^{''''}))] \\ (63) & + ({M（M）}^{2}) {（f）}_{米 - 1}^{''} \\ (64) & {R（右）}_{米}^{θ} (年) = θ_{米 - 1}^{''} - \sum_{k个 = 0}^{米 - 1} [公共关系 ({（f）}_{米 - 1 - k个} θ_{k个}^{'})] \\ (65) & χ_{米} = \{\begin{cases} 0, 米 \leq 1 \\ 1, 米 > 1 \end{cases} \end{array}

为简单起见，假设：

\begin{matrix} (66) & H（H） (年) = 1 \end{matrix}

对于不同的m值，可以通过maple解析法获得解解决方案设备。第一个变形表示为：

\begin{array}{l} {（f）}_{1} (年) = - \frac{5}{672} ℏ_{1} 扩散系数 年^{9} - \frac{三}{2} ℏ_{1} (- \frac{1}{420} {重新}_{w个} - \frac{三}{70} 扩散系数) 年^{7} \\ - \frac{三}{2} ℏ_{1} (\frac{三}{40} B类 - \frac{1}{60} {M（M）}^{2}) 年^{5} \\ + (\frac{13}{210} ℏ_{1} 扩散系数 - \frac{三}{280} ℏ_{1} {重新}_{w个} - \frac{1}{20} ℏ_{1} {M（M）}^{2}) 年^{三} \\ (67) & + (- \frac{1}{160} ℏ_{1} 扩散系数 + \frac{1}{140} ℏ_{1} {重新}_{w个} + \frac{1}{40} {小时}_{1} {M（M）}^{2}) 年 \\ (68) & θ_{1} (年) = \frac{1}{40} ℏ_{2} 公共关系 年^{5} - \frac{1}{4} ℏ_{2} 公共关系 年^{三} + \frac{9}{40} ℏ_{2} 公共关系 \end{array}

解决方案（f）(年),θ(年)太长，将显示在中获得的结果。

3.2.1 HAM解决方案的收敛性

正如Liao（2012）所指出的，收敛区域和解的速率系列可以通过辅助参数进行调节和控制ℏ。为了检查当前解决方案的收敛性所谓的ℏ₁-曲线（f）^′′(1)如图2和图3所示和ℏ₂-曲线θ^′(1)如图4所示。

解决方案收敛于ℏ与水平方向相对应的值中的线段ℏ曲线。为了调查辅助参数的容许值ℏ，的ℏ-曲线（f）^′′(1)为各种数量的扩散系数,M（M）和重新_w个如图3所示。类似地ℏ₂-曲线θ^′(1)如图4所示。如图2-4所示，它可以是结论是 $ℏ_{1} = ℏ_{2} = - 1$ 是合适的值内的不同数量 $0.1 < 扩散系数 < 0.6$ , $0 < M（M） < 5$ 和 $- 5 < {重新}_{w个} < 5 (\leq 吨 \leq 6)$ .

4 数值方法

上述非线性常微分方程组（17）和（23）随着边界条件（16）、（24）和（25）的求解使用代数软件包Maple 16.0进行数值计算。该包使用边值（B-V）问题程序。该算法可用于查找ODE边界和初值问题的中等精度解，都具有全局错误边界。该方法使用Richardson或用基本方法外推或延迟修正梯形或中点法。梯形法通常是有效的对于典型问题，中点法是一种强大的方法解决梯形方法无法解决的无害端点奇点。中点法，也称为四阶Runge–Kutta–Fehlberg方法，通过在步骤中添加中点来改进Euler方法将精确度提高一个数量级。因此，中点方法被用作合适的数值技术（Hatami等人，2013；Aziz，2006）。

5 结果和讨论

在本研究中，HAM和HPM方法用于获得显式通道中UCM流体MHD流动的解析解（图1）。数值方法所得结果的比较（Runge-Kutta-Fehlberg技术），同伦扰动和同伦不同有效参数值的分析方法如所示图5。结果证明是精确的在解a时准确广泛的数学和工程问题，尤其是流体力学案例。通过描述确定这些参数如何影响流体的一些重要参数流动和传热。从物理角度来看，图6-10是为了突出Deborah数的影响扩散系数,哈特曼数M（M）和Prandtl编号公共关系关于速度和温度配置文件。

图6显示了Deborah数对速度分布的影响对于M（M）=1,公共关系 =1,重新_w个=3。此数字可以解释为松弛时间与实验特征时间之比，或探测材料响应的计算机模拟（Reiner，1964）。较高的扩散系数值意味着一种强烈的弹性行为。牛顿流体没有松弛时间（即。，扩散系数 = 0). 增加了弹性参数（即扩散系数从0上升到0.6）导致任何给定点的速度分量（Hayat等人，2009；Mostafa和马哈茂德，2011年）。图7显示了哈特曼数的影响M（M）上速度分量扩散系数 =0.2,公共关系 =1,重新_w个=3.增加磁参数的变化导致速度分量的减小给定点的轮廓。这是因为应用了横向磁场以洛伦兹力的形式产生阻尼，从而降低速度的大小。速度下降作为观察到磁场强度增加的后果。

图8显示了不同温度值的温度变化粘弹性参数Deborah数扩散系数从图8可以看出温度场随着德博拉数的增加而增加扩散系数.值得注意的是，由于Deborah数依赖于弛豫时间越大，Deborah数越大放松时间。众所周知，较大的弛豫时间流体导致温度升高（Khan等人，2016）。

此外，Hartman参数的影响M（M）在温度曲线上如图9所示。从图中可以推断出温度随着磁场的增加而升高。应用垂直于导电流体的磁场有这样的趋势产生一种叫做洛伦兹力的阻力型物体力与流体运动相反，造成流动阻滞效应。这导致流体速度降低。然而，流速的降低是伴随着流体热状态水平的相应增加（莫斯塔法和马哈茂德，2011年）。这可以归因于，u是小，Ha的增加增加了焦耳耗散与Ha成比例并且因此温度升高。

图10显示了普朗特尔数对无量纲的影响温度曲线。正如所观察到的，普朗特尔数的增加导致温度下降。这与实际情况相符热边界层厚度随着增加而减小公共关系.

6 结论

在这项研究中，分析方法被称为同伦分析方法（HAM）、同伦摄动方法（HPM）已经成功用于找到速度和中上反麦克斯韦流体MHD流动的温度分布频道。此外，通过该方法获得的解具有使用Runge-Kutta-Fehlberg技术。不同物理参数的影响，例如，扩散系数黛博拉数，M（M）哈特曼数和公共关系上的Prandtl编号研究了速度和温度分布。主要结论如下：

比较表明，HAM和HPM解决方案具有较高的准确性和提供快速计算流量特性的成果。根据对于以前的出版物来说，这种方法是一种强大的查找科学和工程问题的分析解决方案。
结果表明M（M）哈特曼数与速度剖面的减小。此外，值得一提的是也就是说，速度模式受到扩散系数黛博拉number参数。
此外，观察到公共关系普朗特尔数结果减小热边界层厚度，使其更加均匀边界层温度分布。原因是的较小值公共关系相当于增加热导率，因此，热量的扩散速度比高温时更快的值公共关系这意味着热损失增加公共关系作为边界层变薄。

数据可用性

本手稿中使用的所有数据均可向相应作者索取。

竞争性利益

作者声明他们没有冲突利息。

编辑：Ali Konuralp
审核人：两名匿名推荐人

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文章

简短总结

对平行平板通道中上切向麦克斯韦流体的磁流体力学（MHD）流动和传热问题进行了分析和数值研究。采用同伦分析方法（HAM）、同伦摄动方法（HPM）和四阶龙格库塔数值方法（NUM）求解该问题。此外，还计算了重要物理参数的各种值的速度场和温度场，并以图形方式显示。