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标题: 稀疏子模函数最小化
摘要: 本文研究子模函数$f:2^V\rightarrow\mathbb{R}$的极小化问题,该函数保证有$k$-稀疏极小化子。 我们给出了一个确定性算法,该算法使用对$f$的求值预言机的多项式查询次数来计算$f$在$\widetilde{O}(\mathsf{poly}(k)\log(|f|/\epsilon))$parallel depth中的加法$\epsilon$-近似极小值,其中$|f|=\max_{S\subseteqV}|f(S)|$。 此外,我们给出了一个随机算法,该算法使用$\widetilde{O}(|V|\cdot\mathsf{poly}(k))$查询和多项式时间以高概率计算$f$的精确极小值。 当$k=\widetilde{O}(1)$时,我们的算法要么使用近似恒定的并行深度,要么使用近似线性数量的求值oracle查询。 以前针对该问题的所有算法都使用$\Omega(|V|)$并行深度或$\Omega(|V |^2)$查询。 与用于SFM的最新弱多项式和强多项式时间算法相比,我们的算法使用一阶优化方法,例如镜像下降和跟随正则化先导。 我们引入了所谓的{\em稀疏双证书},它编码关于稀疏极小器结构的信息,我们的并行和序列算法都提供了新的算法工具,允许一阶优化方法有效地计算它们。 相应地,我们的算法不调用快速矩阵乘法或一般线性系统解算器,并且在这个意义上比以前最先进的方法更具组合性。