我们给出了双曲曲面上闭合曲线（简单或不简单）测地线长度的Weil-Peterson-Hessian公式的一个简短但几乎完备的证明。公式是测地线上两个自然定义的正函数的积分之和，证明了该函数在Teichmüller空间上的凸性（由于Wolpert（1987））。然后，我们从下面根据测地线上的局部量和距离来估计黑森量。该公式推广到穿孔双曲曲面上的适当弧，以及对层压的估计。Wolpert的结果，即瑟斯顿度量是Weil-Petersson度量的倍数，直接遵循了公式在适当的曲线序列上的极限。我们进一步应用于Hessian的上界，特别是近pinching轨迹，通过几何论证恢复了Wolpert关于长度凸性到半幂的结果，并给出了长度增长的扭曲下界。