Hyperbolic Concentration, Anti-Concentration, and Discrepancy

Song, Zhao; Zhang, Ruizhe

doi:10.4230/LIPIcs.APPROX/RANDOM.2022.10

摘要

切尔诺夫定界是理论计算机科学中的一个基本工具。它在随机算法设计和随机类型分析中得到了广泛的应用。差异理论在近似算法设计中有着大量的应用，它处理的是寻找集合系统的双色，从而使每个集合的着色都是平衡的。Chernoff界[Che52]表明，任何具有n个集和n个元素的集系统的随机双色都将具有高概率的差异O（√{n log n}），而Spencer的著名结果[Spe85]表明存在O（√n）差异解。双曲多项式的研究可以追溯到20世纪初，当时Gårding[Går59]用于求解偏微分方程。近年来，在控制理论、优化、实代数几何等方面发现了更多的应用。特别是Marcus、Spielman和Srivastava的突破性成果[MSS15]使用双曲多项式理论证明了与差异理论密切相关的Kadison-Singer猜想[KS59]。在本文中，我们给出了双曲多项式的一系列新结果：-我们证明了两个近似最优的双曲Chernoff界：一个是任意向量的Rademacher和，另一个是双曲锥中随机向量的Rademacher和。-我们证明了双曲反集中界。-我们将双曲Kadison-Singer定理[Brä18]推广到亚各向同性位置的向量，并证明了任意常双曲秩向量的双曲Spencer定理。经典矩阵Chernoff和差分结果基于行列式多项式，行列式是双曲多项式的特例。据我们所知，本文是第一个显示双曲多项式的集中或反集中结果的工作。我们希望我们的发现能为双曲线和差异理论提供更多的见解。

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双曲线集中、反集中和差异

作者赵松, 张瑞哲

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韵律学

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