Monge–Ampère型四阶方程的内部估计

摘要

本文给出了研究一类四阶Monge–Ampère型方程内部估计的几种新方法。首先，我们利用部分勒让德变换证明了二维齐次方程的内部估计。作为应用，我们在不使用Caffarelli–Gutiérrez估计的情况下获得了Bernstein定理的新证明，包括仿射极大曲面上的Chern猜想。对于非齐次方程，我们还利用Monge–Ampère Sobolev不等式的积分方法在二维得到了一个新的证明。即使右边是单数，这个证明也有效。在高维中，我们根据二阶导数和行列式逆的积分界获得了内部正则性。