随机的不变密度$\beta$-扩张

摘要

让$\beta >1$做一个不整合者。我们考虑形式的扩展${\sum }_{我=1}^{\infty }\frac{{d日}_{我}}{{\beta }^{我}}$,其中数字$({d日}_{我}{)}_{我\ge 1}$通过Borel地图生成${K（K）}_{\beta }$定义于$\{0,1{\}}^{N个}\times \left[0,\lfloor \beta \rfloor /\left(\beta 负极1\right)\right]$。我们证明了绝对连续的存在唯一性${K（K）}_{\beta }$-不变概率测度w.r.t。${米}_{第页}\otimes \lambda$,哪里${米}_{第页}$伯努利测度在$\{0,1{\}}^{N个}$带参数$第页$ $(0<第页<1)$和$\lambda$归一化勒贝格测度$[0,\lfloor \beta \rfloor /(\beta 负极1)]$。此外，该措施的形式${米}_{第页}\otimes {\mu }_{\beta ,第页}$,哪里${\mu }_{\beta ,第页}$等于$\lambda$。我们建立了这样一个事实：最大熵和${米}_{第页}\otimes \lambda$是相互单一的。万一$1$具有正系数的有限贪婪展开，测度${米}_{第页}\otimes {\mu }_{\beta ,第页}$是马尔可夫。在最后一节中，我们回答了一个关于普适展开数的问题，这是[EK]中引入的一个概念。