连续性、曲率和最优运输的一般协方差

摘要

让$M（M）$和$\overline{M（M）}$是$n个$-配备适当Borel概率测度的维流形$\rho$和$\bar{\rho }$.对于子域$M（M）$和$\overline{M（M）}$属于${R（右）}^{n个}$,Ma、Trudinger和Wang给出了运输成本的充分条件$c（c）\in C^4(M（M）\times M（M）)$保证最优地图推送的平滑性$\rho$转发至$\bar{\rho }$;Loeper推断出了这些条件的必要性。目前的手稿显示了这些条件的形式在很大程度上取决于问题的协方差；它通过一种新颖而自然的伪黎曼几何中某些零平面的截面曲率的非负性来表示它们$c（c）$产品空间归纳$M（M）\times \overline{M（M）}$.我们还探讨了辛几何中的最优输运和类空拉格朗日子流形之间的一些联系。

利用伪黎曼结构，我们将Ma、Trudinger和Wang的条件推广到可微流形上的运输费用，并提供了一个由Loeper引起的最大值原理的直接初等证明，从而放宽了他的假设，即使是子域$M（M）$和$\overline{M（M）}$属于${R（右）}^{n个}$.这个最大值原理在Loeper的Hölder最优o映射连续性理论中起着关键作用。我们的证明允许他的理论在逻辑上独立于所有早期的工作，并为将其扩展到新的全局设置奠定了基础，例如他考虑的特殊黎曼流形的一般浸没和张量积。