曲线空间中Sobolev型度量的性质

摘要

我们定义了一个流形$M（M）$其中对象$c（c）\in M（M）$是曲线，我们将其参数化为$c（c）:{S公司}^1\to {R（右）}^{n个}$($n个\ge 2$, ${S公司}^1$是圆）。我们研究由Sobolev型黎曼度量提供的曲线流形上的几何${H（H）}^{j个}$.这些度量已被证明能够规范计算机视觉应用中使用的梯度流，参见[13]、[14]、[16]及其参考文献。

我们提供了一些基本结果${H（H）}^{j个}$度量；对于这些案例$j个=1,2$,我们刻画了光滑曲线空间的完备性。我们称之为完井${H（H）}^1$和${H（H）}^2$Sobolev型黎曼曲线流形。”这个结果是基本的，因为它是证明这些度量存在测地线的第一步。作为副产品，我们证明了曲线的Fréchet距离（见[7]）与“Finsler${L（左）}^{\infty }$[18]的§2.2中定义的“公制”