组合数学与霍奇理论

摘要

我将讲述两个相互关联的故事，说明组合学和霍奇理论之间富有成果的相互作用。第一个是洛伦兹多项式，基于我与Petter Brändén的联合工作。它们通过热带几何将连续凸分析和离散凸分析联系起来，揭示了关于图、凸体、射影变种、Potts模型配分函数、对数凹多项式和一般线性群的最高权重表示的微妙信息。第二个是拟阵的交集上同调，基于我与Tom Braden、Jacob Matherne、Nick Proudfoot和Botong Wang的联合工作。它显示了凸多面体、Coxeter群和拟阵理论之间惊人的相似性。在概述了相似性之后，我将概述拟阵上两个组合猜想的证明，它们的Kazhdan–Lusztig系数的非负性猜想和平面格的top-hough猜想。