拉格朗日平均Navier–Stokes解的高阶导数的最佳衰减率-$\alpha$中的等式${R（右）}^{三}$

摘要

最近，Bjorland和Schonbek[Ann.Inst.H.PoincaréAnal.Non Linéaire 25（2008）907–936]研究了拉格朗日平均Navier–Stokes方程解的衰减率上限-$\alpha$初始数据所属条件下的方程${我}^1\left({R（右）}^{n个}\right)\cap {H（H）}_{\sigma }^{N个}\left({R（右）}^{n个}\right)$具有$n个=2,三,4$.如果初始数据的平均值不为零，则最终可以证明衰减率是最佳的。因此，本文的目标是研究初始数据平均值为零时解的最优衰减率。如果初始数据属于${我}^1\left({R（右）}^{三}\right)\cap {H（H）}_{\sigma }^{N个}\left({R（右）}^{三}\right)$和一些加权Sobolev空间，我们证明了$k个$四阶($k个\in [0,N个]$)解的空间导数趋于零${我}^2$-标准是$(1+t吨{)}^{-\frac{5+2k个}{4}}$,这意味着这些衰减率是最佳的。作为副产品，我们证明了最佳衰减率（包括上下限）中趋于零的解的时间导数${我}^2$-标准是$(1+t吨{)}^{-\frac{9}{4}}$.