我们给出了理想证明系统（IPS），最近由提出的代数证明系统Grochow和Pitassi（J.ACM，2018），其中，构成证明的电路来自各种受限代数电路类。这模仿了以下子系统在布尔设置中的既定研究方向扩展Frege证明，其中证明线是来自受限布尔电路类的电路。除了一个以外，本文考虑的所有子系统都可以模拟研究得很好的零点定理证明系统，在这项工作之前，当通过多项式的代数复杂度来测量证明大小时，没有已知的下界（除了度或稀疏性）。

给出了将某些代数电路下界转换为证明复杂性下界的两种一般方法。然而，我们需要加强现有的下限，以保持功能性的模型或用于多重性（见下文）。我们的技术让人想起了将布尔电路下限转换为相关证明复杂性结果的现有方法，例如可行插值.我们获得了各种类的相关下界类型(稀疏多项式，深度-3功率公式，只读不经意代数分支程序、和多线性公式)，并推断出相关的证明复杂性结果。我们通过简短地反驳之前研究过子集和公理使用IPS子系统，允许我们得出这些子系统之间的严格分离。

我们的第一种方法是函数下界，一个概念是由于Grigoriev和Razborov（应用代数-工程-公共计算，2000），这说明多项式$f$不仅需要大型代数电路，而且任何多项式$g$同意布尔立方体上的$f$也需要大型代数电路。对于我们感兴趣的类，我们开发了函数下限，其中$g（\vx）$等于$1/p（\vx）$其中$p$是一个常数阶多项式，它反过来产生相应的IPS下界，用于证明$p$在布尔立方体上不为零。特别地，我们证明了在各种IPS子系统中驳斥子项和公理变体的超多项式下界。

我们的第二个方法是给予倍数的下限也就是说，给出其全部（非零）倍数需要较大代数电路复杂度的显式多项式。通过扩展已知的技术，我们能够为我们感兴趣的类获得这样的下限，然后我们使用它来导出相应的IPS下限。倍数的这种下限是独立的，因为它们与代数硬度与随机性范式有着紧密的联系。

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这篇论文的会议版出现在诉讼第31届计算复杂性会议（CCC’16）。