我们研究了$\APMF$问题的时间复杂性：给定一个具有$n$个节点和$m$个边的图，计算所有节点对之间的最大流量值。如果$\MF$（具有给定源-链接对$s，t$的版本）可以及时求解$T（m）$，则$O（n^2）\cdot T（m。但我们能做得更好吗？

对于有向图，细粒度复杂性的最新结果表明这个时间范围基本上是最优的。相反，对于具有边容量的无向图，Gomory和Hu（1961）的开创性算法运行速度要快得多时间，O（n）\ T（m）$。在合理的假设下，$\MF$可以在近线性时间内求解$m^{1+o（1）}$，这个已有半个世纪历史的算法产生了$nm^{1+0（1）{$绑定。多年来还设计了其他几种算法，包括${\tO}（百万）$单位容量边缘的时间（无条件），但他们都没有突破百万美元的门槛。同时，没有超线性下限已知对于无向图。

我们为无向图中的$\APMF$设计了第一个硬度约简，为节点容量设置。对于边缘容量，我们证明类似下限的努力失败了，但我们发现了一种令人惊讶的新算法这打破了具有单位容量边的图的$O（mn）$障碍！假设$T（m）=m^{1+o（1）}$，我们的算法在时间$m^{3/2+o（一）}$和输出一个割等价树（类似于Gomory—Hu算法）。即使使用当前的$\MF$算法，我们也提高了技术水平只要$m=O（n^{5/3-\varepsilon}）$。最后，我们通过证明不可还原性结果。这个结果是基于一个新的近似线性时间$\tO（m）$不确定性的构造割等价的算法树，并且可能具有独立的兴趣。

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这篇论文的会议版本出现在第31届ACM-SIAM离散算法研讨会论文集（SODA'20）.