本文建立了椭圆曲线覆盖的Hurwitz空间的一个分量到椭圆曲线模堆栈的映射度的同余。组合起来，这可以表示为生成有限群对的尼尔森等价类的基数的同余。在布尔盖因、甘伯德和萨纳克的工作基础上，我们应用这个同余来证明，对于除有限多个素数$p$外的所有素数，Markoff自同构组在非零$\mathbb上传递作用{F} （p）Markoff方程$x^2+y^2+z^2-3xyz=0$的$-点。这为Markoff方程、Markoff数所满足的同余条件的有限性以及$\mathrm的某个无限族Hurwitz空间的连通性提供了一个强逼近性质｛SL｝2（\mathbb{F} （p）)椭圆曲线的$-覆盖。除了可能有有限多个例外，这解决了巴拉加于1991年首次提出的布尔盖因、甘伯德和萨纳克猜想，以及1913年提出的弗罗贝尼乌斯问题。由于他们的方法是有效的，这就将猜测简化为有限计算。