我们证明了除$（2，m）$，$（3,3）$，$（3,4）$和$（3,1）$外，所有最大-tb正勒让德环面在标准接触$3$-球面上都允许无限多的拉格朗日填充。通过构造无穷阶拉格朗日调和，证明了这一点，该调和诱导模群$\mathrm{PSL}（2，\mathbb{Z}）$和映射类群$M_{0,4}$的忠实作用到与勒让德链相关的代数簇的坐标环中。特别地，我们的结果表明存在具有指数增长子群的拉格朗日调和幺半群，并将Stein曲面同伦到具有无穷多个高阶完全拉格朗夫曲面的$2$-球面。我们还证明了存在无穷多的卫星节点和双曲节点，勒让德代表承认无穷多的精确拉格朗日填充。