摘要
我们将紧致连通定向曲面（可能有边界）的基本群$\pi_1（\Sigma）$的最大表示理论发展为厄米类型的李群$G$。对于G$的任何同态$\rho:\pi_1（\Sigma），我们定义托莱多不变量$\operatorname{T}（\Sigma，\rho）$，一个具有拓扑和分析解释的数值不变量。我们建立了$\operatorname{T}（\Sigma，\rho）$的重要性质，其中包括连续性、表示簇上的一致有界性、曲面连通和下的可加性以及同余关系mod$\mathbb{Z}$。因此，我们获得了关于表象变化的信息以及最大表示，即托莱多不变量达到最大值的表示。
此外，我们还建立了与极大表示相关的边界映射的性质，推广了圆的半共轭的自然单调性。
我们定义了一般局部紧群的旋转数函数，并对厄米型群进行了详细研究。旋转数的性质以及边界映射的存在，导致了极大表示的额外不变量，并表明极大表示的子集总是实半代数的。
