Connected surfaces with boundary minimizing the Willmore energy

Matteo Novaga; Marco Pozzetta; Matteo Novaga; Marco Pozzetta

doi:10.3934/mine.2020024

工程数学

2020,第2卷, 第3版: 527-556. 数字对象标识：10.3934/人.20024

研究文章特殊问题

具有最小Willmore能量边界的连通曲面

意大利比萨Largo Bruno Pontecorvo 5，56127，比萨比萨大学Matematica研究生

收到时间：2019年10月2日 认可的：2020年3月17日 出版：2020年3月23日

对于给定的光滑闭曲线族$\gamma^1。。。，\我们考虑寻找弹性体的问题有联系的边界为$\gamma=\gamma^1\cup的紧凑曲面$M$。。。\杯\gamma^\alpha$。这是通过在适当的竞争对手类别上最小化Willmore能量$\mathcal{W}$来实现的。虽然Area泛函的直接极小化可能导致极限不连续，但我们证明，如果问题的下确界为$<4\pi$，则在给定边界条件的整数可校正曲率变量类中存在一个连通的紧致极小元$\mathcal{W}$。这是通过证明具有一致有界Willmore能量边界的有界变分函数的变分收敛意味着它们的支撑在Hausdorff距离上的收敛来实现的。因此，在边界条件的小扰动导致Area最小化连接曲面不存在的情况下，我们的最小化过程用此类边界数据模拟了最优弹性连接紧广义曲面的存在性。我们还研究了最优连通曲面的直径任意大的渐近区域。在适当的有界性假设下，我们证明了此类曲面的重定标收敛到圆形球体。对微扰和渐近状态的研究是由弹性表面连接两个平行圆的显著情况推动的，这两个平行圆位于任何可能的距离。我们使用的主要工具是曲率变化的单调性公式(^[15,31])我们将其推广到具有边界的变量，以及它对具有有界Willmore能量的变量结构的影响。
- Willmore能量,
- 单调性公式,
- 各种各样的,
- 连通性,
- 存在
引用：马特奥·诺瓦加（Matteo Novaga）、马可·波泽塔（Marco Pozzetta）。具有最小化Willmore能量的边界的连通曲面[J]。工程数学，2020，2（3）：527-556。doi:10.3934/分钟.2020024

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摘要

对于给定的光滑闭合曲线族$\gamma^1。。。，\我们考虑寻找弹性体的问题有联系的边界为$\gamma=\gamma^1\cup的紧凑曲面$M$。。。\杯\gamma^\alpha$。这是通过在适当的竞争对手类别上最小化Willmore能量$\mathcal{W}$来实现的。虽然Area泛函的直接极小化可能导致极限不连续，但我们证明，如果问题的下确界为$<4\pi$，则在给定边界条件的整数可校正曲率变量类中存在一个连通的紧致极小元$\mathcal{W}$。这是通过证明具有一致有界Willmore能量边界的有界变分函数的变分收敛意味着它们的支撑在Hausdorff距离上的收敛来实现的。因此，在边界条件的小扰动导致Area最小化连接曲面不存在的情况下，我们的最小化过程用此类边界数据模拟了最优弹性连接紧广义曲面的存在性。我们还研究了最优连通曲面的直径任意大的渐近区域。在适当的有界性假设下，我们证明了此类曲面的重定标收敛到圆形球体。摄动和渐近状态的研究是由弹性表面连接两个平行圆的显著情况所驱动的，这两个平行圆心之间的距离可以是任意的。我们使用的主要工具是曲率变化的单调性公式(^[15,31])我们将其推广到具有边界的变量，以及它对具有有界Willmore能量的变量结构的影响。

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