The $ p $-Frobenius and $ p $-Sylvester numbers for Fibonacci and Lucas triplets

Takao Komatsu; Haotian Ying; Takao Komatsu; Haotian Ying

doi:10.3934/mbe.2023162

数学生物科学与工程

2023,第20卷, 第2版: 3455-3481. 数字对象标识：10.3934/mbe.2023162

研究文章特殊问题

斐波纳契和卢卡斯三胞胎的$p$-Frobenius和$p$-Sylvester数字

小松孝雄 ^,,
昊天英

浙江科技大学理学院数学科学系，杭州310018

学术编辑：Feliz Manuel Barráo Minhós

收到：2022年8月1日 修订过的：2022年11月14日 认可的：2022年11月17日 出版：2022年12月6日

本文研究了Frobenius的一类广义线性丢番图问题。设$a_1、a_2、\dots、a_l$为正整数，使得它们的最大公约数为1。对于非负整数$p$，用$g_p（a_1，a_2，\dots，a_l）$表示$p$-Frobenius数，这是最大的整数，最多可以用$a_1、a_2、\dots、a_l$的非负整数系数的线性组合来表示$p$。当$p=0$时，$0$-Frobenius数是经典的Frobenius数字。当$l=2$时，显式给出$p$-Frobenius数。然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确给出Frobenius数。当$p>0$时，这就更加困难了，而且还不知道具体的例子。然而，最近，我们成功地给出了序列为三角数的情况下的显式公式^[1]或拒绝^[2]对于$l=3$的情况。本文给出了当$p>0$时Fibonacci三元组的显式公式。此外，我们给出了$p$-Sylvester数的显式公式，即最多可以用$p$方式表示的非负整数的总数。此外，还显示了关于Lucas三元组的显式公式。
- Frobenius的线性丢番图问题,
- Frobenius数,
- 西尔维斯特数,
- 表示的数量,
- Apéry集合,
- 斐波那契数
引用：小松高雄，应昊天。斐波纳契和卢卡斯三胞胎的$p$-Frobenius和$p$-Sylvester数字[J]。数学生物科学与工程，2023，20（2）：3455-3481。doi:10.3934/mbe.2023162

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摘要

本文研究了Frobenius的一类广义线性丢番图问题。设$a_1、a_2、\dots、a_l$为正整数，使得它们的最大公约数为1。对于非负整数$p$，用$g_p（a_1，a_2，\dots，a_l）$表示$p$-Frobenius数，这是最大的整数，最多可以用$a_1、a_2、\dots、a_l$的非负整数系数的线性组合来表示$p$。当$p=0$时，$0$-Frobenius数是经典的Frobenius数字。当$l=2$时，显式给出$p$-Frobenius数。然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确给出Frobenius数。当$p>0$时更为困难，而且还没有具体的例子。然而，最近，我们成功地给出了序列为三角数的情况下的显式公式^[1]或拒绝^[2]对于$l=3$的情况。本文给出了当$p>0$时Fibonacci三元组的显式公式。此外，我们给出了$p$-Sylvester数的显式公式，即最多可以用$p$方式表示的非负整数的总数。此外，还给出了关于Lucas三元组的显式公式。

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