基于动力学仿真的Euler-Poisson系统神经网络闭包

图1。 闭包的组成图。不同的操作是（Re）-（Re'）重采样，（P）预处理，（Sl）切片，（$\text{NN}_\theta$）神经网络，（R）重建，（P'）后处理和（Sm）平滑

图2。 非局部性中涉及的三种操作的可视化表示：（Sm）平滑、（R）重建和（Sl）切片机制，以及（$\text{NN}_\theta$）神经网络。以灰色突出显示的是用于计算输出值的数据部分，其位置由红线表示。为了更好的可读性，只表示输入$X$的四个向量中的一个，并且只表示涉及的三个窗口。这些示例使用冗余参数$r=2$。图中显示了两种场景：左侧，神经网络的每个输出值依赖于相对较少的输入值，而右侧则依赖于相对较多的输入值。此外，所考虑的输出值的位置也不相同

图3。 窗口大小为$N=512$，深度为$k=2$，$\ell=3$levels的1D V-Net图

图4。 一个具有动力学模型的模拟的数据生成过程的方案。使用一个Knudsen数和一个初始条件，我们在数据集中生成20个条目

图5。 使用第4.2节中描述的过程生成的可能函数$\rho$、$u$和$T$

图6。 分别针对训练和预测过程的整个数据处理方案。不同的操作是（S）标准化、（Sl）切片、（N）归一化、（I）反向归一化，（R）重建和（Sm）平滑

图7。 将1D信号分割成具有不同冗余参数的重叠窗口$r$。原始信号在左侧垂直表示，窗口在右侧。每个窗口的阴影部分是重构信号时忽略的边距。超过原始信号跨度的窗口按周期完成

图8。 用于从神经网络预测的窗口重建整个信号的内核，冗余参数$r=3$

图9。 预测的三个例子。注意y轴的不同尺度：热流的振幅随着努森数的增加而增加

图10。 测试数据集上神经网络和Navier-Stokes估计的相对误差分布（10000美元预测）

图11。 Navier-Stokes估计值和测试数据集上网络的误差，取决于实际热流密度的Knudsen数和$L^2$范数。每个点对应测试数据集中的一个条目。为了更清晰，这里只显示了一个$31^{\text{th}}$的数据

图12。 Navier-Stokes估计和测试数据集上网络的相对误差，取决于Knudsen数。该线表示每个ε的测试数据集100个条目上的误差中位数，彩色区域表示四分位间距

图13。 在整个模拟过程中，真实热通量的范数和预测热通量的相对误差以及Navier-Stokes估计。50次模拟中的中位数和四分位间距

图14。 具有不同超参数的V-Nets的中值相对误差和可学习参数数：（$\ell$）级别数、（$d$）深度和（$p$）内核大小。共享相同颜色的点表示仅相差一个超参数的网络

图15。 使用动力学模型获得的密度、平均速度、温度和热流密度在随机生成初始条件和$varepsilon=0.1$的第一时间单位内的演变示例

图16。 在随机生成初始条件和$varepsilon=0.1的情况下，对$t=1$的密度和热通量的四个模型进行比较$

图17。 不同初始条件和不同努森数的电能演化示例

图18。 对三种流体模型与动力学模型相比的相对误差进行了200多个模拟，根据从$t=0$到$t=8$的电能对数进行测量。为了更好的可读性，中的x轴采用对数刻度

图19。 流体模型相对于动力学模型的相对误差取决于努森数。第一张图显示了原始数据，第二张图显示了20类统一克努森数在0.01$和$1之间的中值和四分位间距$

图20。 神经网络预测的热流密度示例，有平滑和无平滑。此处的平滑使用$\sigma\simeq0.05$

图21。 测试数据集预测的相对误差取决于平滑量

图22。 在30个模拟中，流体模型的模拟达到$t=3$的比例取决于平滑的数量$\sigma$

图23。 流体+网络模型在五个不同数量上的相对误差取决于使用的分辨率。每个点是10个模拟的平均值，始终具有相同的10个不同初始条件，$\varepsilon=0.1$。使用$N_x=1\，024$生成的数据训练所使用的网络。为了适应不同的分辨率，选项1依赖于切片机制来适应不同的输入大小，而选项2使用输入重采样到$N_x=1\，024$并将输出重采样回原始分辨率。对于所有分辨率，相对于高分辨率的动力学模拟计算误差（$N_x=2\，048$，$N_v=141$）

图24。 流体+网络模型与选项2的收敛示例，朝向与动力学模型略有不同的解决方案

图25。 三种流体模型与动力学模型相比的相对误差的100多个模拟分布，根据从$t=0$到$t=8$的电能对数进行测量，初始条件不连续。为了更好的可读性，中的x轴采用对数刻度。看起来很像图18这似乎表明流体+网络模型受初始不连续性的影响不大

图26。 密度和温度演化至$t=0.5$的示例，随机生成不连续的初始条件和$\varepsilon=0.1$，由动力学模型获得。初始不连续性可通过系统的动态快速消除