Profit maximization inventory model with uncertain demand and costs: A geometric programming approach

Tapas Mondal; Akshay Kumar Ojha; Sabyasachi Pani

doi:10.3934/jimo.2023142

文章内容

2024年第20卷, 第5版: 1772-1801. Doi公司：10.3934/jimo.2023142

这个问题上一篇文章需求不确定性下考虑企业社会责任和售前服务的供应链直接配送策略下一篇文章最优衍生投资与比例再保险策略研究

需求和成本不确定的利润最大化库存模型：几何规划方法

印度奥迪沙，布巴内斯瓦尔，布巴奈斯瓦尔，印度，752050

^*通讯作者：Tapas Mondal
^*通讯作者：Tapas Mondal

收到日期： 2023年1月

修订日期： 2023年8月

提前访问： 2023年10月

发布时间： 2024年5月

第一作者得到了印度科学与工业研究委员会（CSIR）的支持，文件编号：-09/1059（0027）/2019-EMR-I

摘要全文（HTML）图(5)/表(11) 相关论文引用人

摘要

本文建立了一个新的利润最大化库存模型，其中需求是销售价格、营销支出和服务支出的幂函数，单位成本是订单量的幂函数。实际上，需求函数中的销售价格指数、营销支出指数和服务支出指数以及单位成本函数中的订单数量指数可能并不准确。因此，我们在一个基于不确定性的框架中考虑该模型，假设需求函数中的销售价格指数、营销支出指数和服务支出指数以及单位成本函数中的订单数量指数是不确定的。基于不确定性理论，我们提出了一种求等效脆模型的方法。此外，我们使用几何规划方法来求解清晰模型。此外，我们给出了一个合适的数值例子，以说明如何使用所提出的方法来求解不同不确定性水平下不同不确定性分布的模型。在数值示例中，我们使用五种不同的不确定性分布，并针对每个不确定性分布的不确定性水平计算出售价、营销成本、服务成本、订单数量和利润。最后，我们进行了敏感性分析，以更好地理解所提出的模型。

关键词：

数学学科分类：一次：90B05、90C70；次要：90B70。

引用：

全文（HTML）

图1。 正态不确定性分布下针对不确定性水平的最优库存

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图2。 线性不确定性分布下不确定性水平下的最优库存

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图3。 锯齿形不确定性分布下不确定性水平下的最优库存

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图4。 三角不确定性分布下不确定性水平下的最优库存

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图5。 梯形不确定性分布下不确定性水平下的最优库存

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表1。 文献综述

作者	主要调查结果	评论
Lee和Kim（1993）[12]	● 利润函数以正项形式表示。 ● 利用GP技术对模型进行求解。	● 需求和订单数量是精确的。
李（1993）[11]	● 需求被视为销售价格的非线性函数。 ● 采用GP方法对模型进行求解。	● 需求函数中销售价格的指数是常数。 ● 订单数量准确。
陈（2000）[2]	● 产品的供应率是其单价和质量水平的函数。 ● 销售价格是销售数量和质量水平的函数。 ● 采用GP方法。	● 供应率函数中的单价指数和质量水平指数是常数。 ● 销售价格函数中销售数量和质量水平的指数是常数。
Jung和Klein（2001）[8]	● 建立了总成本最小化和利润最大化两个模型。 ● 采用GP方法求解这两个模型。	● 这两个模型都假设与成本和利润函数相关的参数是精确已知的。
Jung和Klein（2005）[9]	● 开发了三个成本最小化模型。 ● 采用GP方法求解这些模型。	● 与成本函数相关的参数是精确已知的。
Sadjadi等人（2005）[25]	● 需求是销售价格和营销支出的函数。 ● 单位成本是订单数量的幂函数。 ● 采用GP方法。	● 需求函数中销售价格和营销支出的指数是常数。 ● 单位成本函数中订单数量的指数为常数。
Jung和Klein（2006）[10]	● 建立了三个利润最大化模型。 ● 采用GP方法求解这些模型。	● 与利润函数相关联的参数是精确已知的。
伊斯兰（2008）[4]	● 提出了空间和短缺约束下的多目标营销规划模型。 ● 需求与营销支出直接相关，单位生产成本与需求成反比。 ● 采用全局准则法将多目标成本函数转化为单目标函数。	● 与需求和单位成本函数相关的参数是精确已知的。
Sadjadi等人（2015）[24]	● 提出了一种定价和生产计划库存模型。 ● 产品需求是销售价格、营销支出和服务支出的幂函数。 ● 生产成本是产量的立方幂函数 ● 该模型是通过凸优化工具的最新进展来求解的。	● 需求函数中的销售价格指数和营销支出指数以及生产成本函数中的产量指数均为常数。
拉巴尼和阿利亚巴迪（2019年）[22]	● 需求与销售价格成反比，与营销支出和信用期直接相关。 ● 允许缺货，部分缺货。 ● 用符号GP法求利润最大值。	● 与需求和单位成本函数相关的参数是精确已知的。
Moradi等人（2021年）[17]	● 价格歧视模型是在两个不同的市场中开发的。 ● 用符号GP法求利润最大值。	● 参数是精确已知的。
Mishra等人（2023年）[15]	● 需求是销售价格和回扣价值的函数。 ● 允许短缺。	● 需求函数是确定性的。
伊斯兰与罗伊（2006）[5]	● 建立了单个项目的经济生产量模型。 ● 每个生产周期的总利息和折旧成本与设置成本成反比，直接关系到生产过程的可靠性。 ● 单位生产成本与需求成反比。 ● 模糊GP方法求解模型。	● 参数是模糊的。
《伊斯兰与罗伊》（2007）[6]	● 建立了多品种经济产量模型。 ● 每个生产周期的总利息和折旧成本与设置成本成反比，直接关系到生产过程的可靠性。 ● 单位生产成本与需求成反比。 ● 模糊GP方法求解模型。	● 与库存相关的成本、存储空间和其他参数被视为三角模糊数。
Sadjadi等人（2010年）[23]	● 提出了一种模糊环境下的定价与营销计划库存模型。 ● 需求与销售价格成反比，与营销成本直接相关。 ● 单位成本与订单数量成反比。 ● 采用模糊GP方法确定利润函数的上下界。	● 需求函数中的销售价格指数和营销支出指数以及单位成本函数中的订单数量指数都是模糊的。 ● 模型中未考虑服务支出。
线路接口单元。(2011) [14]	● 利润函数以符号形式表示。 ● 利润函数的每个项的系数都是模糊数。 ● 使用$\alpha-\text{cut}$方法，开发了一对模型。 ● 采用GP方法求利润函数的上下界。	● 利润函数中决策变量的指数是常数。
Samadi等人（2013年）[26]	● 提出了一种模糊环境下的定价和营销计划库存模型。 ● 需求与销售价格成反比，与营销和服务成本直接相关。 ● 单位成本与订单数量成反比。 ● 采用模糊GP方法确定利润函数的上下界。	● 需求函数中的销售价格指数、营销支出指数和服务支出指数以及单位成本函数中的订单数量指数都是模糊的。 ● 解决方案不准确。它也是模糊的。
Yu等人（2013）[30]	● 需求是销售价格和市场潜力的函数。 ● 总的市场潜力是模糊的。 ● 使用排序模糊数。	● 需求是市场潜力和销售价格的线性函数。
Paul等人（2014）[20]	● 建立了模糊需求和库存持有成本条件下的生产库存模型。 ● 考虑了生产过程的可靠性。 ● 采用GP方法对模型进行求解。此外，应用遗传算法和模拟退火算法对模型进行了验证。	● 需求和库存成本被视为模糊随机变量。
Poswal等人（2022年）[21]	● 在缺货情况下，利用与时间和库存相关的需求函数，建立了模糊EOQ模型。 ● 订购成本、持有成本、变质率和短缺成本是梯形数。	● 该模型是总成本函数的最小化。
Omrani和Keshavarz（2014）[19]	● 需求是销售价格和营销成本的幂函数。 ● 单位成本是订单数量的幂函数。 ● 需求函数和成本函数中的指数和系数被认为是区间数据。 ● 采用GP方法求解利润最大化库存模型。	● 模型中未考虑服务成本。 ● 得到的解是区间形式的。
西拉和福山（2018）[27]	● GP方法是在粗糙集理论下发展起来的，并在此基础上求解利润函数中各项系数模糊的利润最大化库存模型。 ● 需求是销售价格和营销成本的幂函数。 ● 单位成本是订单数量的幂函数。	● 模型中未考虑服务成本。 ● 得到了销售价格、营销成本、订单数量和利润的上下限。
Jabbarzadeh等人（2021年）[7]	● 提出了生产成本和存储空间约束下的多品种库存定价模型。 ● 需求与销售价格成反比，与营销和服务成本直接相关。 ● 允许短缺。 ● 符号GP法用于寻找最大利润、销售价格、支付期、营销支出和服务支出。	● 总可用生产成本和总可用存储空间是三角模糊数。 ● 订购成本、持有成本和短缺成本是混合数。
西拉等（2016）[28]	● GP方法是在基于不确定性的框架中开发的。 ● 正态目标和约束函数的系数是独立的不确定变量。 ● 在正态、线性和锯齿形不确定性分布下求解利润最大化库存模型，其中利润函数中每个项的系数是独立的不确定变量。	● 需求被认为只是销售价格的函数，单位成本是订单数量的函数。 ● 不考虑营销和服务成本。 ● 需求函数中的销售价格指数和单位成本函数中的订单数量指数被视为常数。
Mondal等人（2022年）[16]	● GP方法是在一个基于不确定性的框架中开发的。 ● 概率目标函数和约束函数的系数是独立的不确定变量。 ● 在三角形和梯形不确定性分布下求解利润最大化库存模型，其中利润函数中每个项的系数是独立的不确定变量。	● 需求被认为只是销售价格的函数，单位成本是订单数量的函数。 ● 不考虑营销和服务成本。 ● 需求函数中的销售价格指数和单位成本函数中的订单数量指数被视为常数。

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表2。 正态不确定性分布下的最优库存


不确定度$（\gamma）$	售价（美元）$（p^*）$	营销支出（单位：百万美元）$	服务支出（美元）$（g^*）$	订单数量（单位：$（q^*））$	利润（美元）$（T^*）$
0.1	55.56	2.73	3.70	1160.28	36597.23
0.2	25.09	1.06	1.37	1729.91	21920.28
0.3	18.74	0.58	0.66	1722.22	16200.36
0.4	17.89	0.56	0.64	1405.56	12608.92
0.5	17.64	0.55	0.66	1126.15	9976.89
0.6	17.55	0.55	0.67	892.05	7877.30
0.7	17.59	0.56	0.70	694.24	6081.94
0.8	17.84	0.57	0.73	505.51	4408.39
0.9	18.34	0.58	0.79	320.24	2694.83

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表3。 线性不确定性分布下的最优库存


不确定度$（\gamma）$	售价（美元）$（p^*）$	营销支出（单位：百万美元）$	服务支出（美元）$（g^*）$	订单数量（单位：$（q^*））$	利润（美元）$（T^*）$
0.1	14.07	0.30	0.48	2165.85	13028.22
0.2	14.21	0.32	0.50	1786.79	10941.71
0.3	14.42	0.34	0.52	1462.39	9167.78
0.4	14.69	0.36	0.54	1191.55	7663.14
0.5	15.01	0.39	0.56	966.91	6390.22
0.6	15.37	0.41	0.58	783.57	5316.23
0.7	15.76	0.43	0.60	635.29	4412.50
0.8	16.17	0.46	0.63	516	3654.03
0.9	16.60	0.49	0.66	421.02	3019.06

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表4。 锯齿形不确定性分布下的最优库存


不确定度$（\gamma）$	售价（美元）$（p^*）$	营销支出（单位：百万美元）$	服务支出（美元）$（g^*）$	订单数量（单位：$（q^*））$	利润（美元）$（T^*）$
0.1	48.33	2.82	2.50	1111.37	32833.48
0.2	32.58	1.67	1.63	1430.61	25882.85
0.3	26.16	1.16	1.20	1506.58	20730.30
0.4	21.51	0.66	0.87	1415.54	16813.12
0.5	20.66	0.69	0.83	1193.56	13603.87
0.6	20.77	0.76	0.84	1011.18	11721.04
0.7	20.95	0.82	0.85	849.29	10090.24
0.8	21.25	0.89	0.87	708.61	8678.53
0.9	21.57	0.96	0.88	593.01	7457.38

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表5。 三角形不确定性分布下的最优库存


不确定度$（\gamma）$	售价（美元）$（p^*）$	营销支出（单位：百万美元）$	服务支出（美元）$（g^*）$	订单数量（单位：$（q^*））$	利润（美元）$（T^*）$
0.1	32.19	1.62	1.63	1470.26	25644.51
0.2	27.01	1.22	1.27	1437.31	21179.83
0.3	23.01	0.70	1.01	1441.61	18455.32
0.4	22.18	0.72	0.91	1308.14	16384.92
0.5	21.72	0.74	0.89	1217.53	14779.99
0.6	21.45	0.76	0.87	1114.79	13460.27
0.7	21.53	0.81	0.88	998.52	12174.77
0.8	21.43	0.84	0.88	882	10831.23
0.9	21.61	0.91	0.89	738.06	9289.44

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表6。 梯形不确定性分布下的最优库存


不确定性水平$（\gamma）$	售价（美元）$（p^*）$	营销支出（单位：百万美元）$	服务支出（美元）$（g^*）$	订单数量（单位：$（q^*））$	利润（美元）$（T^*）$
0.1	50.16	2.66	2.77	1217.14	33034.02
0.2	28.12	1.25	1.33	1421.86	22138.30
0.3	20.42	0.58	0.69	1509.04	16820.54
0.4	19.14	0.56	0.66	1305.03	13345.51
0.5	18.29	0.56	0.64	1114.50	10722.51
0.6	17.84	0.56	0.63	930.89	8583.19
0.7	17.62	0.57	0.63	765.19	6856.68
0.8	17.59	0.60	0.65	625.36	5461.91
0.9	17.90	0.64	0.67	486.15	4243.67

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表7。 正常不确定度下的灵敏度分析

（A） $c_0的敏感性分析$

$\%\增量c_0$	$\%\增量p$	$\%\三角洲m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-0.11%	–	–	-7.27%	+0.44%
-25%	-0.06%	–	–	-3.92%	+0.22%
+25%	+0.06%	–	–	+3.02%	-0.21%
+50%	+0.11%	–	–	+6.26%	-0.42%
（B） $h的敏感性分析$

$\%\Delta小时$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-7.03%	-7.27%	-6.06%	+105.18%	+4.07%
-25%	-3.00%	-3.64%	-3.03%	+33.84%	+1.71%
+25%	+2.49%	+1.82%	+3.03%	-20.15%	-1.35%
+50%	+4.37%	+5.45%	+4.55%	-33.01%	-2.47%

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表8。 线性不确定度下的灵敏度分析

（A） $c_0的敏感性分析$

$\%\增量c_0$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-0.13%	–	–	-7.91%	+0.68%
-25%	-0.07%	–	–	-4.12%	+0.33%
+25%	+0.07%	–	–	+3.53%	-0.32%
+50%	+0.19%	–	–	+6.95%	-0.63%
（B） $h的敏感性分析$

$\%\Delta小时$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-7.13%	-7.69%	-7.14%	+107.33%	+5.54%
-25%	-3.06%	-5.13%	-3.57%	+34.41%	+2.32%
+25%	+2.53%	+2.60%	+2.33%	-20.11%	-1.84%
+50%	+4.60%	+4.94%	+4.47%	-33.31%	-3.36%

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表9。 锯齿形不确定性下的灵敏度分析

（A） $c_0的敏感性分析$

$\%\增量c_0$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-0.19%	–	–	-6.30%	+0.33%
-25%	-0.34%	–	-1.20%	-2.79%	+0.16%
+25%	-0.15%	–	–	+4.54%	-0.16%
+50%	–	–	–	+6.98%	-0.31%
（B） $h的敏感性分析$

$\%\Delta小时$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-6.78%	-7.25%	-7.23%	+103.60%	+3.17%
-25%	-2.95%	-2.90%	-3.61%	+34.76%	+1.33%
+25%	+2.23%	+1.45%	+2.41%	-19.61%	-1.05%
+50%	+4.36%	+4.35%	+3.61%	-32.24%	-1.93%

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表10。 三角不确定性下的灵敏度分析

（A） $c_0的敏感性分析$

$\%\增量c_0$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-0.23%	–	-1.12%	-7.08%	+0.30%
-25%	–	–	-1.12%	-4.84%	+0.15%
+25%	+0.09%	–	-1.12%	+2.58%	-0.14%
+50%	+0.09%	–	-1.12%	+4.39%	-0.28%
（B） $h的敏感性分析$

$\%\Delta小时$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-7.09%	-8.11%	-7.87%	+104.35%	+2.94%
-25%	-2.53%	-2.70%	-2.25%	+32.60%	+1.23%
+25%	+2.53%	+2.70%	+2.25%	-21.14%	-0.98%
+50%	+4.33%	+4.05%	+3.37%	-33.20%	-1.79%

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表11。 梯形不确定度下的灵敏度分析

（A） $c_0的敏感性分析$

$\%\增量c_0$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-0.11%	–	–	-7.23%	+0.42%
-25%	–	–	–	-3.73%	+0.21%
+25%	–	–	–	+3.53%	-0.20%
+50%	+0.05%	–	–	+6.64%	-0.39%
（B） $h的敏感性分析$

$\%\Delta小时$	$\%\增量p$	$\%\增量m$	$\%\增量g$	$\%\增量q$	$\%\增量T$
-50%	-6.83%	-7.14%	-6.25%	+105.78%	+3.81%
-25%	-2.90%	-3.57%	-3.13%	+34.57%	+1.60%
+25%	+2.41%	+1.79%	+1.56%	-19.57%	-1.27%
+50%	+4.37%	+3.57%	+4.69%	-32.92%	-2.32%

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相关论文

引用人

工具书类

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