Optimal capital allocation for individual risk model using a Mean-Variance Principle

Yu Jiang; Yiying Zhang; Peng Zhao

doi:10.3934/jimo.2022172

文章内容

2023年第19卷, 第7版: 5272-5293. Doi公司：10.3934/即墨2022172

这个问题上一篇文章资本和保险市场中具有部分信息的保险公司的最优投资策略下一篇文章姿态约束下刚性航天器的输出反馈姿态控制

基于均值-方差原理的个人风险模型的最优资本配置

1
江苏师范大学数理统计学院，徐州221116
2
南方科技大学数学系，深圳518055
三。
RIMS江苏省教育大数据科学与工程重点实验室，江苏师范大学，徐州221116

^*通讯作者：张一英，邮箱：zhangyy3@sustech.edu.cn，南方科技大学数学系，深圳518055
^*通讯作者：张一英，邮箱：zhangyy3@sustech.edu.cn南方科技大学数学系，深圳518055

收到时间： 2021年12月

修订日期： 2022年4月

提前访问： 2022年9月

发布时间： 2023年7月

摘要全文（HTML）图(3)/表(14) 相关论文引用人

摘要

在本文中，我们利用带有二次损失函数的均值-方差原理研究了当初始资本总额被授予分配时，个体风险模型的最优资本分配问题。最优资本配置策略的确定分两个阶段进行。首先，当分配的总资本是固定的时，基于索赔发生指标与索赔严重程度无关的假设，给出了最优分配的显式公式。其次，提出了一种近似算法，通过最小化均值损失函数来求出用于分配的资金的最优值。因此，再次遵循第一阶段可以提供准确的分配策略。提供了数值例子和应用来说明主要结果，并对忽略索赔发生指标和索赔严重程度之间的相关性对最优分配的影响进行了一些讨论，以期为未来的研究提供参考。

关键词：

数学学科分类：一次：60E15、62G30；次要：62D05。

引用：

全文（HTML）

图1。 不同$\beta$和$\mathit{\boldsymbol{\nu_{1}}}下最优资本配置比例的敏感性分析$

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图2。 不同$\beta$和$\mathit{\boldsymbol{\nu_{2}}}下最优资本配置比例的敏感性分析$

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图3。 不同$\beta$和$\mathit{\boldsymbol{\nu_{3}}}下最优资本配置比例的敏感性分析$

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表1。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{1}$和不同的值$\测试版$

	$\beta=0$	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^{\ast}$	33.40	51.80	58.85	59.80	59.90	60	60	60
$a_{1}^{\ast}$	15	25.788	29.282	29.729	29.778	29.824	29.825	29.826
$a_{1}^{\ast}$	44.91%	49.78%	49.76%	49.71%	49.71%	49.71%	49.71%	49.71%
$a_{2}^{\ast}$	10.600	16.119	19.013	19.428	19.474	19.517	19.518	19.519
$a_{2}^{\ast}$	31.74%	31.12%	32.31%	32.49%	32.51%	32.53%	32.53%	32.53%
$a_{3}^{\ast}$	7.800	9.893	10.554	10.642	10.648	10.658	10.657	10.655
$a_{3}^{\ast}$	23.35%	19.10%	17.93%	17.80%	17.78%	17.76%	17.76%	17.76%

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表2。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$和不同的值$\测试版$

	$\beta=0$	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^{\ast}$	33.40	53.55	58.50	59.05	59.10	59.15	59.15	59.15
$a_{1}^{\ast}$	15	27.086	28.817	29.008	29.032	29.050	29.053	29.055
$a_{1}^{\ast}$	44.91%	50.58%	49.26%	49.12%	49.12%	49.11%	49.12%	49.12%
$a_{2}^{\ast}$	10.600	18.005	21.793	22.304	22.368	22.418	22.424	22.430
$a_{2}^{\ast}$	31.74%	33.62%	37.25%	37.77%	37.85%	37.90%	37.91%	37.92%
$a_{3}^{\ast}$	7.800	8.459	7.890	7.738	7.700	7.681	7.673	7.665
$a_{3}^{\ast}$	23.35%	15.80%	13.49%	13.10%	13.03%	12.99%	12.97%	12.97%

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表3。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{3}$和不同的值$\测试版$

	$\beta=0$	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^{\ast}$	33.40	53.35	58.85	59.70	59.80	59.90	59.90	59.95
$a_{1}^{\ast}$	15	26.378	28.942	29.238	29.274	29.305	29.308	29.315
$a_{1}^{\ast}$	44.91%	50.39%	49.18%	48.97%	48.95%	48.92%	48.92%	48.90%
$a_｛2｝^｛\ast｝$	10.600	16.668	20.165	20.659	20.720	20.775	20.778	20.797
$a_｛2｝^｛\ast｝$	31.74%	31.84%	34.26%	34.60%	34.65%	34.68%	34.69%	34.69%
$a_{3}^{\ast}$	7.800	9.304	9.743	9.804	9.805	9.820	9.814	9.837
$a_{3}^{\ast}$	23.35%	17.77%	16.56%	16.42%	16.40%	16.39%	16.38%	16.41%

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表4。 不同发生概率下的最优资本配置$\mathit｛\boldsymbol｛p｝｝$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_｛2｝^｛\ast｝$	$a_{3}^{\ast}$	$a_｛4｝^｛\ast｝$	$a_{5}^{\ast}$	$a_{6}^{\ast}$	$a_{7}^{\ast}$	$a_{8}^{\ast}$	$a_{9}^{\ast}$	$a_{10}^{\ast}$
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{1}$	80.75	0.113	3.230	40.094	0.250	35.545	2.285	0.226	-0.540	-0.471	0.019
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{1}$	80.75	$ 0.14\% $	$ 4.00\% $	$ 49.65\% $	$ 0.31\% $	$ 44.02\% $	$ 2.83\% $	$ 0.28\% $	-0.67\%美元$	$ -0.58\% $	$ 0.02\% $
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{2}$	76.50	0.053	0.473	39.605	0.273	34.590	0.436	0.134	-0.661	1.172	0.426
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{2}$	76.50	$ 0.07\% $	$ 0.62\% $	$ 51.77\% $	$ 0.36\% $	$ 45.21\% $	$ 0.57\% $	$ 0.17\% $	$ -0.86\% $	$ 1.53\% $	$ 0.56\% $
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{3}$	81.75	0.189	0.954	48.726	0.095	31.451	0.272	0.095	-0.658	0.320	0.304
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{3}$	81.75	$ 0.23\% $	$ 1.17\% $	$ 59.60\% $	$ 0.12\% $	38.47%美元$	$ 0.33\% $	$ 0.12\% $	$ -0.80\% $	$ 0.39\% $	$ 0.37\% $
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{4}$	77.50	0.111	0.338	38.011	0.100	33.364	0.257	0.092	-0.205	2.737	2.694
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{4}$	77.50	$ 0.14\% $	$ 0.44\% $	$ 49.05\% $	$ 0.13\% $	$ 43.05\% $	$ 0.33\% $	$ 0.12\% $	$ -0.26\% $	$ 3.53\% $	$ 3.48\% $
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{5}$	90.75	0.229	0.736	48.046	0.234	40.364	1.133	0.038	0.293	-1.167	0.843
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{5}$	90.75	0.25美元\%$	$ 0.81\% $	$ 52.94\% $	$ 0.26\% $	$ 44.48\% $	$ 1.25\% $	$ 0.04\% $	$ 0.32\% $	-1.29\%美元$	$ 0.93\% $
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{6}$	160.25	25.668	38.528	16.063	12.617	5.937	25.102	14.401	5.806	5.892	10.235
${\mathit{\boldsymbol{p}}_{6}$	160.25	$ 16.02\% $	$ 24.04\% $	$ 10.02\% $	$ 7.87\% $	$ 3.71\% $	$ 15.66\% $	$ 8.99\% $	$ 3.62\% $	$ 3.68\% $	$ 6.39\% $

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表5。 不同发生概率下的最优资本配置$\mathit{\boldsymbol{\nu}}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_｛3｝^｛\ast｝$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$	$a_{6}^{\ast}$	$a_{7}^{\ast}$	$a_{8}^{\ast}$	$a_{9}^{\ast}$	$a_{10}^{\ast}$
$｛\mathit｛\boldsymbol｛\nu｝｝｝_｛1｝$	80	0.080	1.273	17.308	3.211	53.798	0.188	0.168	0.252	3.069	0.654
$｛\mathit｛\boldsymbol｛\nu｝｝｝_｛1｝$	80	$ 0.10\% $	$ 1.59\% $	$ 21.63\% $	$ 4.01\% $	$ 67.25\% $	$ 0.23\% $	$ 0.21\% $	$ 0.31\% $	$ 3.84\% $	$ 0.82\% $
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$	91	0.289	1.307	11.946	15.503	42.413	1.073	0.176	-0.419	17.376	1.336
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$	91	$ 0.32\% $	$ 1.44\% $	$ 13.12\% $	$ 17.04\% $	$ 46.61\% $	$ 1.18\% $	$ 0.19\% $	-0.46\%美元$	$ 19.09\% $	$ 1.47\% $
$｛\mathit｛\boldsymbol｛\nu｝｝｝_｛3｝$	72.75	0.285	1.261	12.005	4.500	67.447	1.354	3.403	-5.399	-8.745	-3.360
$｛\mathit｛\boldsymbol｛\nu｝｝｝_｛3｝$	72.75	$ 0.39\% $	$ 1.73\% $	$ 16.50\% $	$ 6.19\% $	$ 92.71\% $	$ 1.86\% $	$ 4.68\% $	$ -7.42\% $	$ -12.02\% $	$ -4.62\% $
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{4}$	88.75	0.525	1.476	7.558	3.347	72.916	0.214	0.257	0.021	1.447	0.989
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{4}$	88.75	$ 0.59\% $	$ 1.66\% $	8.52美元\%$	$ 3.77\% $	$ 82.16\% $	0.24%美元$	$ 0.29\% $	$ 0.02\% $	$ 1.63\% $	$ 1.11\% $
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{5}$	104	0.075	1.442	17.826	0.012	65.942	-0.893	0.506	-0.987	19.014	1.063
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{5}$	104	$ 0.07\% $	$ 1.39\% $	$ 17.14\% $	$ 0.01\% $	$ 63.41\% $	$ -0.86\% $	$ 0.49\% $	$ -0.95\% $	$ 18.28\% $	$ 1.02\% $
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{6}$	72	0.159	1.309	29.413	1.380	40.346	0.313	0.589	-0.890	-1.878	1.259
${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{6}$	72	$ 0.22\% $	1.82\%美元$	$ 40.85\% $	$ 1.92\% $	$ 56.04\% $	$ 0.44\% $	$ 0.82\% $	$ -1.24\% $	$ -2.61\% $	$ 1.75\% $

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表6。 正态分布下的最优资本配置${\mathit{\boldsymbol{p}}_{1}$和${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{1}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	2.136	0.151	0.233	0.406	0.612	0.735
独立性	2.136	$ 7.04\% $	10.93\%美元$	$ 19.00\% $	$ 28.63\% $	$ 34.39\% $
积极依赖性	5.312	1.103	1.014	1.280	0.981	0.934
积极依赖性	5.312	20.76\%美元$	$ 19.08\% $	$ 24.10\% $	$ 18.47\% $	$ 17.59\% $
负依赖性	0.632	-0.196	-0.129	0.136	0.331	0.490
负依赖性	0.632	$ -30.97\% $	$ -20.36\% $	$ 21.47\% $	$ 52.31\% $	$ 77.54\% $

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表7。 正态分布下的最优资本配置${\mathit{\boldsymbol{p}}_{2}$和${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	1.832	0.683	0.562	0.357	0.170	0.061
独立性	1.832	$ 37.28\% $	30.67\%美元$	$ 19.46\% $	$ 9.26\% $	3.33\%美元$
积极依赖性	5.152	1.219	1.115	1.274	0.844	0.699
积极依赖性	5.152	$ 23.67\% $	$ 21.65\% $	$ 24.74\% $	$ 16.38\% $	$ 13.57\% $
积极依赖性	0.704	0.470	0.323	0.135	-0.100	-0.124
积极依赖性	0.704	$ 66.75\% $	$ 45.88\% $	$ 19.25\% $	$ -14.19\% $	$ -17.68\% $

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表8。 正态分布下的最优资本配置$｛\boldsymbol｛p｝｝_｛3｝$和${\boldsymbol{\nu}}_{3}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	2.064	0.431	0.190	0.518	0.253	0.672
独立性	2.064	$ 20.88\% $	$ 9.18\% $	$ 25.12\% $	$ 12.27\% $	$ 32.54\% $
积极依赖性	5.216	1.055	0.835	1.344	0.773	1.209
积极依赖性	5.216	$ 20.22\% $	$ 16.00\% $	$ 25.76\% $	$ 14.82\% $	$ 23.18\% $
负依赖性	1.104	0.181	-0.035	0.420	0.068	0.469
负依赖性	1.104	16.36\%美元$	$ -3.15\% $	$ 38.03\% $	$ 6.24\% $	$ 42.51\% $

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表9。 伽马分布下的最优资本配置${\mathit{\boldsymbol{p}}_{1}$和$｛\mathit｛\boldsymbol｛\nu｝｝｝_｛1｝$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_｛2｝^｛\ast｝$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	3.208	0.217	0.337	0.608	0.934	1.112
独立性	3.208	$ 6.77\% $	$ 10.50\% $	$ 18.95\% $	$ 29.10\% $	$ 34.68\% $
积极依赖性	7.024	1.562	1.409	1.642	1.262	1.148
积极依赖性	7.024	$ 22.24\% $	$ 20.07\% $	$ 23.38\% $	$ 17.97\% $	$ 16.35\% $
负依赖性	1.208	0.042	0.082	0.119	0.404	0.562
负依赖性	1.208	$ 3.46\% $	$ 6.74\% $	$ 9.87\% $	$ 33.43\% $	46.49\%美元$

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表10。 伽马分布下的最优资本配置$｛\mathit｛\boldsymbol｛p｝｝｝_｛2｝$和${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	2.744	1.199	0.915	0.505	0.159	-0.034
独立性	2.744	$ 43.67\% $	$ 33.34\% $	$ 18.40\% $	$ 5.83\% $	$ -1.24\% $
积极依赖性	6.976	1.695	1.523	1.633	1.140	0.984
积极依赖性	6.976	24.29美元\%$	$ 21.83\% $	$ 23.41\% $	$ 16.35\% $	$ 14.10\% $
负依赖性	1.256	0.566	0.396	0.118	0.098	0.079
负依赖性	1.256	45.03\%美元$	$ 31.50\% $	$ 9.37\% $	$ 7.84\% $	$ 6.26\% $

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表11。 伽马分布下的最优资本配置${\boldsymbol{p}}_{3}$和${\boldsymbol{\nu}}_{3}$

	$a^{\ast}$	$a_{1}^{\ast}$	$a_{2}^{\ast}$	$a_{3}^{\ast}$	$a_{4}^{\ast}$	$a_{5}^{\ast}$
独立性	3.144	0.684	0.200	0.799	0.279	1.181
独立性	3.144	$ 21.75\% $	$ 6.37\% $	$ 25.43\% $	$ 8.88\% $	$ 37.57\% $
正相关性	6.984	1.469	1.128	1.692	1.007	1.688
正相关性	6.984	$ 21.03\% $	16.16\%美元$	$ 24.23\% $	$ 14.42\% $	24.17美元\%$
负依赖性	1.568	0.285	0.156	0.330	0.229	0.568
负依赖性	1.568	$ 18.19\% $	$ 9.94\% $	$ 21.02\% $	$ 14.60\% $	$ 36.25\% $

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表12。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{1}$和不同的值$\测试版$

	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^{\ast}$	42.05	45.25	45.70	45.70	45.75	45.75	45.75
$a_{1}^{\ast}$	19.325	20.925	21.150	21.150	21.175	21.175	21.175
$a_{1}^{\ast}$	45.96%	46.24%	46.28%	46.28%	46.28%	46.28%	46.28%
$a_{2}^{\ast}$	13.195	14.155	14.290	14.290	14.305	14.305	14.305
$a_{2}^{\ast}$	31.38%	31.28%	31.27%	31.27%	31.27%	31.27%	31.27%
$a_{3}^{\ast}$	9.530	10.170	10.260	10.260	10.270	10.270	10.270
$a_{3}^{\ast}$	22.66%	22.48%	22.45%	22.45%	22.45%	22.45%	22.45%

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表13。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{2}$和不同的值$\测试版$

	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^{\ast}$	42.05	45.25	45.65	45.70	45.75	45.75	45.75
$a_{1}^{\ast}$	16.730	17.370	17.450	17.460	17.470	17.470	17.470
$a_{1}^{\ast}$	39.79%	38.39%	38.23%	38.21%	38.19%	38.19%	38.18%
$a_{2}^{\ast}$	13.195	14.155	14.275	14.290	14.305	14.305	14.305
$a_{2}^{\ast}$	31.38%	31.28%	31.27%	31.27%	31.27%	31.27%	31.27%
$a_{3}^{\ast}$	12.125	13.725	13.925	13.95	13.975	13.975	13.975
$a_{3}^{\ast}$	28.83%	30.33%	30.50%	30.53%	30.55%	30.55%	30.55%

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表14。 最佳资本配置${\mathit{\boldsymbol{\nu}}}_{3}$和不同的值$\贝塔$

	β=0.001美元$	$\β=0.01$	$\β=0.05$	$\β=0.1$	$β=0.4$	$β=0.7$	$\贝塔=2$
$a^｛\ast｝$	42.05	45.25	45.65	45.70	45.75	45.75	45.75
$a_{1}^{\ast}$	17.883	18.950	19.083	19.100	19.117	19.117	19.117
$a_{1}^{\ast}$	42.53%	41.88%	41.80%	41.79%	41.79%	41.79%	41.78%
$a_{2}^{\ast}$	13.483	14.550	14.683	14.700	14.717	14.717	14.717
$a_{2}^{\ast}$	32.06%	32.15%	32.17%	32.17%	31.17%	31.17%	31.17%
$a_{3}^{\ast}$	10.683	11.750	11.883	11.900	11.917	11.917	11.917
$a_{3}^{\ast}$	25.41%	25.97%	26.31%	26.40%	26.05%	26.05%	26.05%

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