On the convexity for the range set of two quadratic functions

Huu-Quang Nguyen; Ya-Chi Chu; Ruey-Lin Sheu

doi:10.3934/jimo.2020169

文章内容

2022年第18卷, 第1版: 575-592. Doi公司：10.3934/即墨2020169

这个问题上一篇文章两个看似无关的线性随机效应模型下的同时最优预测下一篇文章基于演化分裂变分不等式的交通网络合作问题

关于两个二次函数值域集的凸性

1
越南Nghe An Vinh大学自然科学教育研究所
2
台湾台南国立成工大学数学系

^*通讯作者：Ruey-Lin Sheu
^*通讯作者：Ruey-Lin Sheu

为纪念Hang-Chin Lai教授在数学与优化领域的毕生贡献

收到日期： 2020年7月

修订日期： 2020年9月

提前访问： 2020年11月

发布时间： 2022年1月

Huu-Quang，Nguyen的研究工作得到台湾MOST 108-2811-M-006-537的支持，Rue-Lin Sheu的研究工作获得台湾MOST 107-2115-M-006-011-MY2的资助

摘要/引言全文（HTML）图(8)/表(1) 相关论文引用人

摘要

给定$n次n$对称矩阵$A$和$B，1941年$Dines证明了联合范围集$\{（x^TAx，x^TBx）|\；x\in\mathbb{R}^n}$总是凸的。本文研究范围集$mathbf{R}（f，g）={左（f（x），g（x）右）|\；x\in\mathbb{R}^n}，$$f（x我们证明了$\mathbf{R}（f，g）$是凸的，当且仅当任意一对水平集$\{x\in\mathbb{R}^n|f（x）=\alpha\}$和$\{x \in\mathbb{R}^n| g（x）=\beta\}$不彼此分离。利用分离的新几何概念，我们提供了一个多项式时间过程来实际检查给定的$\mathbf{R}（f，g）$是否凸。

关键词：

数学学科分类：一次：90C20；次要：90C22、90C26。

引用：

全文（HTML）

图1。 该图对应于示例1

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图2。 设$f（x，y，z）=x^2+y^2$和$g（x，y，z）=-x^2+y^2+z$

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图3。 备注（c）和备注（e）。设$f（x，y）=-x^2+4y^2$和$g（x，y）=2x-y$。级别集$\{g=0\}$分隔$\{f<0\}，$，而$\{g=0\{$不分隔$\}f=0\}$

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图4。 备注（d）。设$f（x，y）=-x^2+4y^2-1$和$g（x，y）=x-5y$。级别集$\{g=0\}$分隔$\{f=0\{$，而$\{c=0\r\}$不分隔$\}f<0\}$

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图5。 对于注释（f），其中$f（x，y）=-x^2+4y^2+1$和$g（x，y）=-（x-1）^2+4y ^2+1$

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图6。 定理证明图3.1

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图7。 例如示例2。设$f（x，y）=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqart{3}{2{y^2+x-\frac{1}{2$y$和$g（x，y）=\frac{1\{2}x^2-\frac{1'{2}y^2+\sqrt}3}x-\frac{3}$

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图8。 示例3中的联合数值范围$\mathbf{R}（f，g）$

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表1。 与问题相关的显著结果的时间顺序列表（P）

1941 （晚餐[三])	（Dines定理） $\left\｛\left.\left（x^T A x，x^T B x \ right）\；\right\|\；x\in\mathbb｛R｝^n\right\｝$ 是凸的。此外，如果$x^TAx$和$x^TBx$除了$x=0$外没有公共零，则$\left\{left.\left（x^TAx，x^TBx \right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right}$是$\mathbb{R}^2$或角度小于$\pi$的角扇区。
1961 （砌砖工[1])	$\mathbf美元{克}_{A，B}=\left\{left.\left（x^TAx，x^TBx\right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\；，\\\|x\\|=1\right\}$ 如果$n\geq 3$，则为凸。
1995 （拉马纳和高盛[11]) 未发布	$\mathbf{R}（f，g）=\left\{left.\left（f（x），g（x）\right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right\}$ 是凸的当且仅当$\mathbf{R}（f，g）=\mathbf{R}（f_H，g_H）+\mathbf1{R}-（f，g）$，其中$f_H（x）=x^T A x$和$g_H（x）=x*T B x$。
1995 （拉马纳和高盛[11]) 未发布	$\mathbf{R}（f，g）=\left\{left.\left（f（x），g（x）\right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right\}$ 如果$n\geq 2$和$\存在，则为凸；\alpha，\beta\in\mathbb{R}$，这样$\alpha A+\beta B\suck 0$。
1998 （波利亚克[10])	$\left\{\left.\left（x^T A x，x^T B x，x ^T C x \right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right\}$ 如果$n\geq 3$和$\存在，则为凸；\alpha，\beta，\gamma\in\mathbb{R}$，这样$\alpha A+\beta B+\gamma C\suck 0$。
1998 （波利亚克[10])	$\left\{\left.\left（x^T A_1 x，\cdots，x^T A _m x\right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right\}$ 如果$A_1、\cdots、A_m$通勤，则为凸。
2016 （巴赞和奥帕佐[5])	$\mathbf{R}（f，g）=\left\{left.\left（f（x），g（x）\right）\；\right\|\；x\in\mathbb{R}^n\right\}$ 是凸的当且仅当$\存在\；d=（d_1，d_2）\in\mathbb{R}^2$，$d\neq 0$，这样以下四个条件成立： $\bf{（C1）：}$$F_L\left（\mathcal{N}（A）\cap\mathcal{N}（B）\right）=\{0\}$ $\bf{（C2）：}$$d_2 A=d_1 B$ $\bf{（C3）：}$$-d\in\mathbf{R}（f_H，g_H）$ $\bf｛（C4）：｝$F_H（u）=-d\暗示\langle F_L（u），d_｛\perp｝\langle \neq 0$ 其中$\mathcal{N}（A）$和$\mathcal{N{（B）$分别表示$A$和$B$的空空间，$F_H（x）=\左（F_H（x），g_H（×）\右）=\右（x^T A x，x^T B x \右）$，$F_L（x）=\左（A^T x，B^T x \右侧）$，以及$d_{\perp}=（-d_2，d_1）$。

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