Variational formulation  of commuting Hamiltonian flows: Multi-time Lagrangian 1-forms

Yuri B. Suris

doi:10.3934/jgm.2013.5.365

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2013年第5卷, 第3版: 365-379. Doi公司：10.3934/jgm.2013.5.365

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交换哈密顿流的变分形式：多重拉格朗日1-形式

尤里·苏里斯^1,

1
柏林理工大学数学研究所（Institute für Mathematik，MA 7-2，Technische Universityät Berlin，Str.des 17）。Juni柏林10623号，邮编136

收到日期： 2012年12月

修订日期： 2013年8月

发布时间： 2013年9月

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摘要

最近，Lobb和Nijhoff从多维一致性的角度开始研究离散可积系统的变分（拉格朗日）结构。在目前的工作中，我们遵循这一研究路线，发展了可积一维系统的拉格朗日理论。我们给出了以下问题的完整解决方案：寻找一个多变量函数（解释为多时间），该函数将临界点传递给通过沿多时间内任何光滑曲线积分拉格朗日1型得到的作用泛函。拉格朗日1型应该取决于后继函数的第一个喷射。我们推导了相应的多时间欧拉-拉格朗日方程，并证明了在多时间勒让德变换下，它们等价于交换哈密顿流系统。哈密尔顿函数的对合性等价于拉格朗日1型在多时间Euler-Lagrange方程解上的贴近性。在离散时间背景下，类似的极值性质是交换辛映射系统的特征。对于交换辛映射的单参数族（Bäcklund变换），我们证明了由Kuznetsov和Sklyanin引入的它们的谱性性质，等价于拉格朗日1-形式在多次欧拉-拉格朗日方程解上闭合的性质，并提出了一种构造Lax表示的方法，其唯一输入是映射本身。

关键词：

数学学科分类：一次：37J05、37J10、37J15、37J35、49S05、70H03、70H05；次要：70H06。

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