A new Lagrangian approach to control affine systems with a quadratic Lagrange term

Sigrid Leyendecker; Sofya Maslovskaya; Sina Ober-Blöbaum; Rodrigo T. Sato Martín de Almagro; Flóra Orsolya Szemenyei

doi:10.3934/jcd.2024017

文章内容

2024年第11卷, 第3版: 336-353. Doi公司：10.3934/jcd.2024017

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用二次拉格朗日项控制仿射系统的新拉格朗基方法

1
Friedrich-Alexander-Universityät Erlangen-Nürnberg（FAU），应用动力学研究所（LTD），Immerwahrstrasse 1，91058 Erlangen，Germany
2
帕德博恩大学（UPB），数值数学与控制（NMC），沃伯格街100号，邮编33098

^*通讯作者：Flóra Orsolya Szemenyei
^*通讯作者：Flóra Orsolya Szemenyei

^†第一作者：索菲亚·马斯洛夫斯卡娅（Sofya Maslovskaya）、罗德里戈·T·佐托·马丁·德·阿尔马格罗（Rodrigo T.Sato Martín de Almagro）和弗洛拉·奥索利亚（Flóra Orsolya）塞迈涅伊

收到日期： 2023年7月

修订日期： 2024年2月

提前访问： 2024年3月

发布时间： 2024年7月

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摘要

在这项工作中，我们考虑具有固定初始和自由最终状态以及二次拉格朗日项的机械系统的最优控制问题。具体来说，动力学由包含仿射控制项的二阶常微分方程描述。经典地，庞特里亚金最大值原理为最优控制问题提供了必要的最优性条件。对于光滑问题，也可以采用基于增广目标的变分方法。在这里，我们提出了一种新的拉格朗日方法，它以欧拉-拉格朗奇方程的形式给出了等价的必要最优性条件。因此，微分几何结构（类似于经典拉格朗日动力学）可以在最优控制问题的框架中加以利用。特别是，该公式能够以直接的方式通过变分积分器对最优控制问题进行辛离散化。

关键词：

数学学科分类：一次：65K10、49M25；次要：65K15。

引用：

全文（HTML）

图1。 拉格朗日力学和哈密顿力学之间联系的示意图。这里，$（q（t），\dot{q}（t））$代表对应于拉格朗日$L$的Euler-Lagrange方程的解，$（qt），p（t）$代表相应于哈密尔顿$H$的哈密尔顿方程的解。Legendre转换$\mathbb{F} L（左）$连接了力学的拉格朗日和哈密尔顿两个方面，从而连接了欧拉-拉格朗奇方程和哈密顿方程

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工具书类

[1]	V.阿诺德，经典力学的数学方法，梯度。数学课文。，纽约海德堡Springer-Verlag出版社，1978年。
[2]	J.T.Betts，实用方法《使用非线性规划进行最优控制和估计》，第二版，《设计和控制进展》，19，工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，2010年。doi（操作界面）：10.1137/1.9780898718577.
[3]	J.邦南斯和J.劳伦特·瓦林，辛分块Runge-Kutta格式的阶条件计算及其在最优控制中的应用，数字。数学。,103(2006), 1-10. doi（操作界面）：10.1007/s00211-005-0661-y。
[4]	C.M.Campos公司, S.Ober Blöbaum公司和E.特雷拉特，机械系统最优控制中的高阶变分积分器，离散连续。动态。系统。,35(2015), 4193-4223. doi（操作界面）：10.3934/dcds.2015.35.4193。
[5]	F.H.克拉克，优化和非光滑分析，经典应用。数学。，SIAM，1990年。doi（操作界面）：10.1137/1.9781611971309.
[6]	L.科伦坡, S.费拉罗和D.马丁·德·迭戈，高阶变分系统的几何积分器及其在最优控制中的应用，非线性科学杂志。,26(2016), 1615-1650. doi（操作界面）：2007年10月7日/00332-016-9314-9。
[7]	L.Colombo、D.Martín De Diego和M.Zuccalli，欠驱动机械系统的最优控制：几何方法，数学杂志。物理。,51（2010），083519，第24页。doi（操作界面）：10.1063/1.3456158.
[8]	M.Crampin和F.A.E.Pirani，适用的微分几何伦敦数学学会讲座笔记系列第59卷，剑桥大学出版社，剑桥，1986年。
[9]	M.de León先生, D.M.de Diego博士和A.圣塔玛利亚-梅里诺，离散变分积分器和最优控制理论，计算数学进展,26(2007), 251-268. doi（操作界面）：2007年10月10日/10444-004-4093-5。
[10]	M.de León和P.R.Rodrigues，广义经典力学与场论，《北荷兰数学研究》第112卷，拉格朗日和哈密顿公式的几何方法，涉及高阶导数，《纯数学注释》。，102 North-Holland Publishing Co.，阿姆斯特丹，1985年。
[11]	A.福尔马尔斯基，关于二阶系统的最优反馈控制设计，应用数学,1(2010), 301-306. doi（操作界面）：上午10:4236/上午2010.14039。
[12]	M.Gerdts先生，用于数值求解高指数DAE最优控制问题的直接射击方法，最优化理论与应用杂志,117(2003), 267-294. doi（操作界面）：10.1023/A:1023679622905。
[13]	M.J.戈泰和J.M.内斯特，前症状拉格朗日系统。一：约束算法和等价定理，《I.H.P.生理学年鉴》,30(1979), 129-142.
[14]	K.Grabowska公司和J.格拉博夫斯基Tulczyjew三元组：从静力学到场论，《几何杂志》。机械。,5(2013), 445-472. doi（操作界面）：10.3934/jgm.2013.5.445。
[15]	W.黑格最优控制中的Runge-Kutta方法和变换的伴随系统，数字。数学。,87(2000), 247-282. doi（操作界面）：10.1007/s002110000178。
[16]	M.Leok和B.Tran，伴随系统的几何方法，非线性科学杂志。,34（2024年），第25号论文，75页。doi（操作界面）：10.1007/s00332-023-09999-7。
[17]	D.利伯松，变分法与最优控制理论——简介, 普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2012年。
[18]	J.Marsden和T.Ratiu，力学和对称导论。经典机械系统的基本说明《应用数学课文17》，施普林格出版社，1994年。
[19]	J.马斯登和M.韦斯特离散力学和变分积分器，数字学报,10(2001), 357-514. doi（操作界面）：10.1017/S096249290100006X号。
[20]	S.Ober-Blöbaum，《离散力学与最优控制》，帕德博恩大学。
[21]	S.Ober-Blöbaum、O.Junge和J.E.Marsden，《离散力学和最优控制：分析》，ESAIM控制优化。计算变量。,17（2011），第2期，322–352。doi（操作界面）：10.1051/2010012。
[22]	L.Pontryagin、V.Boltyansky、R.Gamkrelidze和E.Mishchenko，最优过程的数学理论《麦克米伦公司》，纽约，1964年。
[23]	M.Popescu和P.Popeschu，几乎由Lie结构定义的几何对象，李代数体和微分几何中的相关主题（华沙，2000）巴纳赫中心出版社。，波兰科学院数学研究所，华沙，54(2001), 217-233.doi（操作界面）：10.4064/bc54-0-12。
[24]	J.M.桑兹·塞尔纳、辛Runge-Kutta格式用于伴随方程、自动微分、最优控制等，SIAM版本。,58(2016), 3-33. doi（操作界面）：10.1137/151002769.
[25]	D.J.Saunders，射流束的几何形状伦敦数学学会第142卷讲座笔记系列，剑桥大学出版社，剑桥，1989年。doi（操作界面）：10.1017/CBO9780511526411。
[26]	S.Treanta公司，高阶射流束的最优控制问题，《微分几何与动力系统国际会议论文集》（DGDS-2013），BSG Proc。，布加勒斯特巴尔干几何学会,21(2014), 181-192.
[27]	W.M.Tulczyjew，Les sous-varisés lagrangiennes et la dynamicque hamiltonienne，C.R.学院。科学。巴黎。A-B公司,283（1976），Ai，A15-A18。
[28]	W.M.Tulczyjew，Les sous-varisés lagrangiennes et la dynamicque lagranginenne，C.R.学院。科学。巴黎。A-B公司,283（1976），Av，A675-A678。