计算动力学杂志
法国保罗大学，E2S UPPA，CNRS，LMAP
*通讯作者：Charles-Edouard Bréhier
我们研究了一组应用于一类多尺度随机微分方程组的数值格式。当时间尺度分离参数消失时，著名的均匀化或Wong–Zakai扩散近似结果表明，所考虑系统的慢分量收敛于由实值Wiener过程驱动的随机微分方程的解，并对噪声进行Stratonovich解释。我们提出并分析了有效逼近慢分量的方案。这些方案满足渐近保持性质，并推广了最近文章中提出的方法[4]. 我们填补了这些方案分析中的一个空白，并证明了强误差估计，它们对于时间尺度分离参数是一致的。
图1。 对于具有$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$的方案（18）和限制方案（$\epsilon=0$），均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$。左：Heun积分器（参考斜率：$1/2$和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$1/2$，1和2）
图2。 对于具有$\epsilon\in\{1,0.1,0.01\}$的方案（18）和限制方案（$\epsilon=0$），均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$。左：Heun积分器（参考斜率：$1/2$和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$1/2$，1和2）
图3。 对于使用欧拉积分器的方案（18），均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$（参考斜率：$1/2$和1），左：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。右：$\epsilon\in\{1,0.1,0.01\}$
图4。 均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$，对于使用（49）-（50）计算的增量为$\zeta^\epsilon（t_{N+1}）-\zeta_\epsi隆（t_N）$的方案（48）和限制方案（$\epsilen=0$）。左：Heun积分器（参考斜率：$1/2$和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$1/2$、1和2）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。底部：$\epsilon\in\{1,0.1,0.001\}$
图5。 作为$N$函数的均方误差，时间步长为$\Delta t=t/N$，对于预计算增量为$\zeta^\epsilon（t_{N+1}）-\zeta_\epsilen（t_N）$的方案（48），使用（49）-（50）在最细尺度下计算，对于极限方案（$\epsi隆=0$）。左：Heun积分器（参考斜率：1和2）。右：RK4积分器（参考斜率：1、2和$4$）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。底部：$\epsilon\in\{1,0.1,0.001\}$
图6。 对于使用维纳过程增量的方案（53）和限制方案（$\epsilon=0$），均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$。左：Heun积分器（参考斜率：$1/2$和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$1/2$、1和2）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。底部：$\epsilon\in\{1,0.1,0.001\}$
图7。 对于预计算增量为$\zeta_{N+1}^\epsilon-\zeta_N^\ epsilon$的方案（53）和限制方案（$\epsilen=0$），均方误差是$N$的函数，时间步长为$\Delta t=t/N$。左：Heun积分器（参考斜率：1和2）。右：RK4积分器（参考斜率：1、2和$4$）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。底部：$\epsilon\in\{1,0.1,0.001\}$
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均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于方案（18）$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$对于限制方案($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：$ 1/2 $和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$ 1/2 $、1和2）
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于方案（18）$\epsilon\in\{1,0.1,0.01\}$对于限制方案($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：$ 1/2 $和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$ 1/2 $、1和2）
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于使用Euler积分器的方案（18）（参考斜率：$ 1/2 $和1）左侧：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$。右：$\epsilon\in\{1,0.1,0.01\}$
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于带有增量的方案（48）$\zeta^\epsilon（t_{n+1}）-\zeta*\epsilen（t_n）$使用（49）-（50）和限制方案计算($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：$ 1/2 $和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$ 1/2 $、1和2）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$.底部：$\epsilon\in\｛1,0.1,0.001｝$
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于预计算增量的方案（48）$\zeta^\epsilon（t_{n+1}）-\zeta*\epsilen（t_n）$使用（49）-（50）在最佳尺度下用于极限方案($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：1和2）。右：RK4积分器（参考斜率：1、2和$ 4 $). 顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$.底部：$\epsilon\in\｛1,0.1,0.001｝$
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于使用维纳过程增量的方案（53）和限制方案($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：$ 1/2 $和1）。右：RK4积分器（参考斜率：$ 1/2 $、1和2）。顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$.底部：$\epsilon\in\｛1,0.1,0.001｝$
均方误差与N美元$，具有时间步长$\增量t=t/N$，对于预计算增量的方案（53）$\zeta_{n+1}^\epsilon-\zeta_n^\ epsilon$对于限制方案($\epsilon=0$). 左：Heun积分器（参考斜率：1和2）。右：RK4积分器（参考斜率：1、2和$ 4 $). 顶部：$\epsilon\in\{0.04,0.02,0.01\}$.底部：$\epsilon\in\｛1,0.1,0.001｝$
