A structure-preserving Fourier pseudo-spectral linearly implicit scheme for the space-fractional nonlinear Schrödinger equation

Yuto Miyatake; Tai Nakagawa; Tomohiro Sogabe; Shao-Liang Zhang

doi:10.3934/jcd.2019018

文章内容

2019年第6卷, 第2版: 361-383. Doi公司：10.3934/jcd.2019018年9月10日

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空间分数阶非线性Schrödinger方程的保结构傅立叶伪谱线性隐式格式

1
大阪大学网络媒体中心，1-32 Machikaneyama，Toyonaka，Osaka 560-0043，Japan
2
名古屋大学工程研究生院计算科学与工程系，日本名古屋464-8603，Chikusa-ku，Furo-cho
三。
名古屋大学工程研究生院应用物理系，日本名古屋464-8603，Chikusa-ku，Furo-cho

收到日期： 2019年2月

修订日期： 2019年9月

发布时间： 2019年11月

摘要全文（HTML）图(13)/表(4) 相关论文引用人

摘要

我们提出了一个求解空间分数阶非线性薛定谔方程的Fourier伪谱格式。该方案具有以下特点：它是线性隐式的，保留了方程的两个不变量，保证了其唯一可解性，不受空间和时间步长的限制。该方案要求每个时间步长求解一个复杂的对称线性系统。为了有效地求解该系统，我们还提出了一种特定的变量变换和预条件。

关键词：

数学学科分类：一次：65M70、65F08；次级：65N22。

引用：

全文（HTML）

图1。 通过（LEFT）线性隐式格式（9）和（RIGHT）非线性格式（14）获得了$\alpha=2$情形的数值解

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图2。 通过（LEFT）线性隐式格式（9）和（RIGHT）非线性格式（14）获得了情况$\alpha=1.6$的数值解

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图3。 通过（LEFT）线性隐式格式（9）和（RIGHT）非线性格式（14）获得了情况$\alpha=1.2$的数值解

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图4。 用线性隐式格式（9）得到$\alpha=1.6$情形的数值解，其中$N=61$

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图5。 线性隐式格式（9）在$\alpha=1.6$的情况下获得的错误行为：（LEFT）全局错误，和（RIGHT）$t=20$的错误。误差由$\max_k|U_k^{（n）}-U_{\text{ref}，k}^{$

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图6。 离散质量误差{米}_\mathrm{d}（{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{（n）}$和能量$\mathcal{高}_对于$\alpha=2.0的情况，由线性隐式格式（9）获得的\mathrm{d}（{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{（n+1）}，{\mathat{\boldsymbol{U}{}}^}（n）}）$$

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图7。 离散质量误差{米}_\mathrm{d}（{\boldsymbol{U}}^{（n）}$和energy$\mathcal{高}_对于$\alpha=1.6的情况，由线性隐式格式（9）获得的\mathrm{d}（{\boldsymbol{U}}^{（n+1）}，{\bolssymbol}{U}{（n）}）$$

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图8。 离散质量误差{米}_\mathrm{d}（{\boldsymbol{U}}^{（n）}）$和能量$\mathcal{高}_对于$\alpha=1.2的情况，由线性隐式格式（9）获得的\mathrm{d}（{\boldsymbol{U}}^{（n+1）}，{\bolssymbol}{U}{（n）}）$$

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图9。 线性隐式格式（9）得到的离散能量$\tilde{\mathcal{H}}_\mathrm{d}（{\mathit{\boldsymbol{U}}^{（n）}）$的误差$

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图10。 COCG方法在每个时间步收敛的迭代次数。（左）$N=101$和$\Delta t=0.02$固定，（右）$\alpha=2$和$\ Delta t=0.02$固定

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图11。 应用于（10）的Bi-CGSTAB方法的迭代次数。参数设置为$\alpha=2$、$N=401$和$\Delta t=0.02$

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图12。 预处理COCG方法应用于矩阵$M=I+\mathrm{I}\Delta tD_\alpha$的（19）的迭代次数。初始条件设置为$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm{i}x）{\rm{sech}}（\sqrt{2}（x-10））$。参数设置为$\alpha=2$和$N=401$。（左）$\δt=0.01,0.02$，（右）$\△t=0.05$

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图13。 矩阵$M=I+\mathrm｛I｝\Delta t D_\alpha$应用于（19）的预条件COCG方法的迭代次数。初始条件设置为$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm{i}x）{\rm{sech}}（4（x-10））$。参数设置为$\alpha=2$和$N=401$

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表1。 预处理Bi-CGSTAB方法的最大、最小和平均迭代次数：时间步长设置为$\增量t=0.02$，和初始值$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm｛i｝x）｛\rm｛sech｝｝（\sqrt｛2｝（x-10））$

N美元$	$ 401 $	$ 1001 $	4001美元$
最大限度	$ 3 $	$ 3 $	$ 3 $
最低限度	$ 3 $	$ 3 $	$ 3 $
平均的	$ 3 $	$ 3 $	$ 3 $

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表2。 的平均CPU时间$ 10 $模拟在T美元=8$（获得的成本${\mathit{\boldsymbol{U}}}^{（1）}$通过非线性方案（14除外）：时间步长设置为$\增量t=0.02$，和初始值$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm{i}x）{\rm{sech}}（\sqrt{2}（x-10））$

N美元$	$ 1001 $	$ 2001 $	$ 4001 $	$ 8001 $
CPU时间	$ 0.794 $	1.524美元$	$ 5.615 $	$ 8.223 $

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表3。 预处理Bi-CGSTAB方法的最大、最小和平均迭代次数：时间步长设置为$\增量t=0.2$，和初始值$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm｛i｝x）｛\rm｛sech｝｝（\sqrt｛2｝（x-10））$

N美元$	$ 401 $	$ 1001 $	4001美元$
最大限度	$ 6 $	$ 6 $	$ 6 $
最低限度	$ 5 $	$ 5 $	$ 5 $
平均的	$ 5.020 $	$ 5.020 $	$ 5.020 $

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表4。 预处理Bi-CGSTAB方法的最大、最小和平均迭代次数：时间步长设置为$\增量t=0.02$，和初始值$u_0（x）=2\exp（0.5\mathrm{i}x）{\rm{sech}}（x-10）$

N美元$	$ 401 $	$ 1001 $	$ 4001 $
最大限度	$ 4 $	$ 4 $	$ 4 $
最低限度	$ 3 $	$ 3 $	$ 3 $
平均的	$ 3.286 $	$ 3.291 $	3.323美元$

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