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2024年第18卷, 第2版: 447-479. Doi公司：10.3934/ipi.2023040
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基于少量低分辨率切片的超分辨率曲面重建

  • 1

    英国利物浦大学数学成像技术中心和数学科学系

  • 2

    台湾国立清华大学电子工程学院

  • 三。

    英国格拉斯哥斯特拉斯克莱德大学数学与统计系

  • 4

    英国利物浦大学数学成像技术中心

  • 5

    台湾国立清华大学电气工程系

收到日期： 2022年8月
修订日期： 2023年8月
提前访问： 2023年9月
发布时间： 2024年4月

第一作者部分获得UoL-NTHU双博士项目的支持

摘要 全文（HTML） 图(25)/表(3) 相关论文 引用人
    摘要

  • 在分割特征（例如血管）被进一步用于其他数值模拟（例如有限元分析）的许多成像应用中，所获得的表面不具有适合于该任务的精细分辨率。提高此类曲面的分辨率变得至关重要。本文提出了一种新的变分模型来解决这个问题，该模型基于欧拉-弹性正则化器。此外，我们提出并实现了求解该模型的两种数值算法，投影梯度下降法和交替方向乘法器法。使用真实示例（包括另一个变分模型的两个输出）进行了数值实验，以验证其有效性。从离散几何的角度，通过高斯曲率和平均曲率的标准差进行定量比较，表明了新模型的优点。

    数学学科分类：一次：49Q20、65K10、65D18、94A08；次要：68U10。

    引用：
    舒

    \开始{方程式}\\结束{方程式{
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  • 图1。 利用新提出的基于Euler-Elastica模型从低分辨率输入$N=128$和24个故意不均匀切片对分支圆柱进行三维重建

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    图2。 通过基于周长的低分辨率输入的分支圆柱体公式$N=128$和24个不均匀收集的输入切片（左侧的图1)

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    图3。 根据基于Willmore的分支圆柱体公式，利用低分辨率输入$N=128$和24个不均匀收集的输入切片（左侧图1)

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    图4。 二维场景中目标集$\tilde{E}$（左）、初始集$E_{0}$（中）和可能的构造$E$（右）的示例

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    图5。 初始集合$E_{0}中的（a）内部限制$\omega^{in}$（青色）和外部限制$\omega^{ex}$（粉色）的插图，以及（b）肥大的内部限制$\欧米茄^{in{$（青绿）和外部约束$\omega^{ex{$（粉红）的插图$

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    图6。 用厚度参数$h$说明$\omega_{i}$的肥大限制，其中肥大区域$\omega_{i，h}=\left\{（\xi，\zeta）\in（{\mathbb{R}}^{D-1}\times{\mathbb{R{}）\cap E_0}:\xi\in\omega_2{i}，|\zeta|<h|\119993；_{i{（\ xi，\ omega_2}）|\right\}$以灰色显示

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    图7。 （a）符号距离函数（$E$内部为负，边界为零，外部为正）和（b）使用轮廓函数$q的对象$E$的内部区域$\Omega^{in}$、边界$\partial\Omega$和外部区域$\欧米加^{ex}$的值$u$的图示$

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    图8。 （b）初始粗糙表面的可视化示例1在低分辨率$N=32下，通过复制（a）给定5个切片中的切片来创建球体$

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    图9。 的修补结果示例1球体有四种模型：（a）卡恩-海利亚德模型；（b） 芒福德-沙赫模型；（c） 传输模型和（d）来自图8（a）低分辨率$N=32$下的给定5个输入切片。（显然，如果只给出几个切片，修复方法就无法很好地工作。）

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    图10。 的最终重建结果示例1球体由三种配方组成：（a）基于周长的配方；（b） 基于Willmore的配方；和（c）基于Euler-弹性的配方；低分辨率输入$N=32$，5个切片。（从视觉上看，新模型的结果（c）是最好的。）

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    图11。 （b）初始粗糙表面的可视化示例2在低分辨率$N=128下，从（a）给定的24个切片分支圆柱体$

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    图12。 的最终重建结果示例2用三种配方分叉气缸：（a）基于周长的配方；（b） 基于Willmore的配方；和（c）基于低分辨率输入的Euler-Elastica公式$N=128$，24个切片

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    图13。 计算曲率——2-环相邻顶点内的面片图解_{2} 内华达州_{i} 中心顶点$\mathbf的${v}（v）_{i} $（蓝色），其中第一个环的相邻顶点为红色，第二个环的相邻顶点为绿色

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    图14。 最终重建结果中高斯曲率（顶线）和平均曲率（底线）的可视化示例1球体由三种配方组成：基于周长的配方（左）；基于Willmore的配方（中间）；和基于Euler-弹性体的配方（右）

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    图15。 最终重建结果中所有高斯曲率$\kappa_{G}$（左）和平均曲率$\bar{kappa}$（右）的直方图示例1球体由三种配方组成：基于周长的配方（粉红色）；基于Willmore的配方（绿色）；和基于Euler-塑料的配方（青色）

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    图16。 最终重建结果中高斯曲率（顶线）和平均曲率（底线）的可视化示例2三种形式的分叉气缸：基于周长的形式（左）；基于Willmore的配方（中间）；和基于Euler-弹性体的配方（右）

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    图17。 最终重建结果中所有高斯曲率$\kappa_{G}$（左）和平均曲率$\bar{kappa}$（右）的直方图示例2三种配方的分叉气缸：基于周长的配方（粉色）；基于Willmore的配方（绿色）；和基于Euler-塑料的配方（青色）

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    图18。 实验收敛曲线通过迭代次数的相对误差示例1关于基于周长（红色带圆圈）、基于Willmore（绿色）和基于Euler-Elastica（青色带五角星）的公式

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    图19。 不同输入$N$的实验结果（红色带圆圈）和估计算术值（绿色）的计算复杂性曲线示例1其中时间单位设置为任意单位（a.u.）

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    图20。 关于惩罚参数$\rho\in[0.5，10]$（步长为0.5）和代表性漫反射界面宽度$\varepsilon\cdot N\in[1.5，3]$（步进为0.1）的测试参数灵敏度的二进制映射示例1基于ADMM的数值算法Ⅱ在低分辨率$N=32$下的球体，其中1（绿色）表示存在可容忍的结果，0（红色）表示在不同时间步长（a）$\tau=\varepsilon^{3}$和（b）$\tao=\varesilon^{3.5}下迭代期间的不愉快结果$

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    图21。 胸部（蓝色）初始CT真实数据的可视化，低分辨率$N=512$，来自48个切片，其中示例3分段支架显示为红色

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    图22。 分段粗略输入的可视化（顶部）示例3基于给定48层低分辨率CT真实数据的支架(图21)以及基于Euler-Elastica公式的平滑重建结果（底部），其中右栏的结果是左栏的放大视图

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    图23。 分段粗略输入片段的可视化（顶部）示例3低分辨率下CT真实数据的24层支架(图21)以及基于Euler-Elastica公式的平滑重建结果（底部），其中右栏的结果是左栏的放大视图

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    图24。 分段粗略输入的可视化（左）示例4根据给定的280层MRI实际数据和基于欧拉-弹性公式的平滑重建结果生成肿瘤（右）

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    图25。 可视化示例5THz成像中的鹿：（a）给定的所有218个切片的带噪声的粗略输入；（b） 基于欧拉-弹性公式的平滑重建结果（a）；（c） 输入109片带1个间隙；（d） （c）的输出；（e） 输入55片3个间隙；（f） （e）的输出；（g） 输入37片5个间隙；（h） （g）的输出。

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    算法3.1：投影梯度下降法（PGDM）
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    表1。 高斯曲率标准差的比较$\sigma_{\rm{{GC}}}$和平均曲率$\sigma_{\rm{{MC}}}$和每个迭代的平均运行时间（秒/迭代或s/iter）的三种公式：基于周长($\mathscr{P}$)，基于Willmore($\mathscr{W}$)和基于Euler-Elasta-based($\mathscr{E}$)三个示例的公式：示例1(图14）,示例2(图16）)以及示例3(图22）)

    型号$\mathscr{P}$ 型号$\mathscr{W}$ 新型号$\mathscr{E}$
    示例1 $\sigma_{\rm{{GC}}}$ 85.6522 10.5005 4.3289
    球体 $\sigma_{\rm{{MC}}}$ 4.9897 1.2315 0.9789
    （$N=32$） 信标/信标 0.0009 0.0030 0.0033
    示例2 $\sigma_{\rm{{GC}}}$ 772.2918 191.8314 89.1912
    分支气缸 $\sigma_{\rm{{MC}}}$ 10.9077 8.9567 6.3708
    （美元N=128$） 信标/信标 0.0835 0.2791 0.3108
    示例3 $\sigma_{\rm{{GC}}}$ 16372.1718 1734.3918 1628.0449
    支架 $\sigma_{\rm{{MC}}}$ 100.5420 35.2987 33.3259
    （美元N=512美元） 信标/信标 0.4761 1.4679 1.4778
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    表附录A。 注释摘要

    符号 启示
    D美元$ 空间的尺寸。
    $\mathbb{R}^{D}$ $D$维欧几里德空间。
    $\波浪线{E}$（$E_{0}$） 目标（初始）设置。
    $E^{*}$（$E$） 最终（潜在）结果。
    $\｛\Pi_｛i=1，\dots，s｝\｝$ 给定$s$平行横截面/切片/超平面$\Pi_{i}$的集合。
    $\omega^｛in｝$（$\omega^｛ex｝$） 所有切片的内部（外部）限制集$\omega_{i}^{in}$（$\omega _{i{^{ex}$）。
    $\Omega^{in}$（$\Omega^{ex}$） 所有厚度为$h$的切片的增肥内部（外部）限制$\bigcup\limits_{i=1}^{s}\Omega_{i，h}^{in}$（$\bigcup\limits_{i=1}^{s}\Omega_{i，h}^{ex}$）的集合。
    $\119993；_{i}（\xi，\pi_{i{）$ 符号距离函数（定向距离函数），标识给定点$\xi$到超平面$\pi_{i}$的任意子集$\pi_{i{$之间的距离。
    $q（\cdot）$ 配置文件功能。
    $W（\cdot）$ 双势函数。
    $u_{\varepsilon}（\cdot）$ 相场功能。
    $u（美元）^{英寸}_{E_{0}}:=u_{\varepsilon}^{in}$
    （单位：美元^{不}_{E_{0}}:=u_{\varepsilon}^{ex}$）    		 内部（外部）限制$\Omega^{in}$（$\Omega^{ex}$）的相场轮廓/近似值，厚度控制$\varepsilon>0$，对于$h=\varepsilon^{alpha}$。
    $\mathbb美元{1}_{\欧米茄}（\chi_{\Omega}）$ 集合$\Omega$的指示功能（特征功能）。
    $\mathcal{H}^{D}$ $D$维Hausdorff度量。
    H美元$ 平均曲率。
    $\mathcal{E}=\mathscr{P}，\mathscr{W}，\ mathscr}$ 变分能量，可以是基于周长的$\mathscr{P}$、基于Willmore的$\mathscr{W}$或基于Euler-Elasta-based的$\mashscr{E}$能量。
    $\mathscr美元{P}（P）_{\varepsilon}，\mathscr{西}_{\varepsilon}，\mathscr{电子}_{\varepsilon}$ 基于周长的配方、基于Willmore的配方和基于Euler-Elastica的配方。
    $\伽马-\lim$ $\Gamma$-收敛。
    美元\套$ 合成时间步长。
    $\rho美元$ 惩罚参数。
    $\nabla u美元$ 渐变操作符：$\nabla u=\left（\frac{\partialu}{\parial\xi_{1}}，\ldots，\frac}\partial u}{\ partial\xi_}D}}\right）$。
    $\operatorname{div}u$ 散度运算符：$\operatorname{div}u=\sum\limits_{i=1}^{D}\frac{\partialu}{\paratil\xi_{i}}$。
    $\ u增量$ 拉普拉斯算子：$\Delta u=\sum\limits_{i=1}^{D}\frac{\partial^{2}u}{\paratil\xi_{i}^{2{$。
    $\sigma_{\mbox{{GC}}}:=\sigma（\kappa_{G}）$
    $（\sigma_{\mbox{MC}}}:=\sigma（\bar{\kappa}））$    		 高斯（平均）曲率的标准偏差。
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    • 相关论文
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  • 工具书类
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