Modelling, analysis, and numerical methods for a geometric inverse source problem in variable-order time-fractional subdiffusion

Wei Fan; Xindi Hu; Shengfeng Zhu

doi:10.3934/ipi.2023002

文章内容

2023年第17卷, 第4版: 767-797. Doi公司：10.3934/ipi.2023002

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变阶时间分数次细分中几何反源问题的建模、分析和数值方法

1
华东师范大学数学系，上海，200241
2
华东师范大学纯粹数学与数学实践上海重点实验室，上海200241

^*通讯作者：胡新迪
^*通讯作者：胡新迪

收到日期： 2022年7月

修订日期： 2022年12月

提前访问： 2023年2月

发布时间： 2023年8月

摘要全文（HTML）图(21) 相关论文引用人

摘要

文献中有研究含时积分阶和时间分数阶常阶几何反问题的工作。时间分数阶变阶几何反问题虽然也有重要的物理应用，但在文献中尚未从数学和数值上进行研究。本文的目的是研究一个与变阶时间分数次细分扩散方程相关的反源问题。我们首先建立了一个数学模型，并证明了震源支架形状重建的最优形状的存在性。然后，进行形状敏感性分析，提出一种允许变形的形状梯度优化算法，用于数值求解模型问题。此外，为了重建拓扑未知的源支撑，我们建立了一个相场模型，并通过相场方法提出了一种允许形状和拓扑变化的梯度算法。文中给出了多种数值例子来证明这两种算法的有效性。

关键词：

数学学科分类：一次：35R30、35R11；次要：49Q10，65M60。

引用：

全文（HTML）

图1。 域设置图示

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图2。 相场函数及其隐式表示的图解

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图3。 示例1中源的重建过程（第一行上的黑色区域）和计算的$u（T，x）$（第二行）的结果：$\beta=6\乘以10^{-4}$

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图4。 示例1中使用$\beta=6\乘以10^{-4}$（第一行）和$\beta=2\乘以10^}$（第二行）进行重建比较：初始猜测（黑色）、最终结果（红色）和目标（蓝色）

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图5。 示例1中观察到的$u（x，T）$和重建的$u$

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图6。 示例1目标的收敛历史：$\beta=6\乘以10^{-4}$

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图7。 示例2的$\partial\Omega$比较：初始猜测（黑色）、最终结果（红色）和目标（蓝色）

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图8。 示例2目标的收敛历史

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图9。 示例3的$\partial\Omega$与$u_0=0$（第一行）和$u_0\not\equiv 0$（第二行）的比较：初始猜测（黑色）、最终结果（红色）和目标（蓝色）

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图10。 示例4案例1的源的演化过程：方形首字母（红色区域代表$\Omega$）

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图11。 示例4案例1的源演化过程：随机初始

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图12。 示例4案例1的目标收敛历史：方形初始值（左）和随机初始值（右）

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图13。 具有随机首字母的重建源：示例4的案例2

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图14。 示例4案例2目标的收敛历史

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图15。 示例5的数值源和精确源的比较

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图16。 示例5目标的收敛历史

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图17。 示例6的数值源和精确源的比较

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图18。 示例6目标的收敛历史

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图19。 示例7的数值源和精确源的比较

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图20。 示例7目标的收敛历史

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图21。 实施例8的数值源和精确源的比较

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