Multilevel Markov Chain Monte Carlo for Bayesian inverse problem for Navier-Stokes equation

Juntao Yang; Viet Ha Hoang

doi:10.3934/ipi.2022033

文章内容

2023年第17卷, 第1期: 106-135. Doi公司：10.3934/ip.2022033年10月3日

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Navier-Stokes方程贝叶斯反问题的多级马尔可夫链蒙特卡罗方法

杨俊涛^1,2, 和
越南下黄^2, ,

1
新加坡淡马锡大道8号英伟达AI技术中心，邮编038988
2
新加坡南洋理工大学物理与数学科学学院数学科学部，新加坡637371

^*通讯作者：Viet Ha Hoang
^*通讯作者：Viet Ha Hoang

收到日期： 2021年10月

修订日期： 2022年4月

提前访问： 2022年7月

发布时间： 2023年2月

摘要全文（HTML）图(8)/表(6) 相关论文引用人

摘要

推导Navier-Stokes方程未知作用力和初始条件的贝叶斯反问题在许多实际领域中发挥着重要作用。采样后验概率测度的计算成本可能非常高。我们发展了有限元多级马尔可夫链蒙特卡罗（FE-MLMCMC）抽样方法，用于逼近二维周期环面上Navier-Stokes方程模型问题中有关量的后验概率测度的期望。我们首先考虑强制和初始条件对于所有实现都是有界的，并且线性依赖于均匀分布在紧区间内的可数随机变量集。我们建立了该方法的本质最优收敛速度，并进行了数值验证。该方法沿袭了V.H.Hoang、Ch.Schwab和A.M.Stuart在《逆向问题》（Inverse problems）（2013年第29卷）中开发的方法，用于在均匀先验概率测度下推断线性椭圆正方程的系数。在高斯先验概率测度的情况下，使用V.H.Hoang、J.H.Quek和Ch.Schwab，Inverse problems，vol.36，2020中为高斯先验开发的MLMCMC方法的数值结果表明了本质上的最优收敛速度。然而，由于正演求解器理论有限元误差的高斯先验不可积性，MLMCMC采样程序的严格理论不可用。

关键词：

数学学科分类：一次：65C05、62F15、65J22；次要：76D05。

引用：

全文（HTML）

图1。 均匀先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差

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图2。 均匀先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差，a=3

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图3。 MLMCMC的CPU时间，a=2

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图4。 MLMCMC的CPU时间，a=3

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图5。 高斯先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差，a=2

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图6。 高斯先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差，a=3

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图7。 基于pCN采样器的二维Navier-Stokes方程高斯先验MLMCMC误差，a=2

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图8。 pCN采样器对具有高斯先验的2D Navier-Stokes方程的MLMCMC误差，a=3

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表1。 均匀先验下不同样本量选择的总MLMCMC误差

美元$	$M_{l^{prime}}，l，l^{prime}>1$	$M_{l0}=M_{0l}$	$M_{00}$	总误差
0	$2^{2\左（L-\左（L+L'\右）\右）}$	$2^{2（L-L）}/L^{2}$	$2^{2L}/L^{4}$	$O\左（L^{2}2^{-L}\右）$
2	$\左（l+l^{prime}\right）^{2}2^{2\left（l-\左（l+l^}\prime}\右）}$	$2^{2（L-1）}$	$2^{2L}/L^{2}$	$O\左（L\log L2^{-L}\右）$
三	$\左（l+l^{prime}\right）^{3}2^{2\left（l-\左（l+l^}\prime}\右）}$	$l 2^{2（l-l）}$	$2^{2L}/L$	$O\左（L^{1/2}2^{-L}\右）$
4	$\左（l+l^{prime}\right）^{4}2^{2\left（l-\左（l+l^}\prime}\右）}$	$l^{2}2^{2（l-l）}$	$2^{2L}/\左（\log L^{2}\右）$	$O\left（\log L2 ^｛-L｝\right）$

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表2。 均匀先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差

L（左）	$a=2的平均误差$
2	0.0756
三	0.0640
4	0.0505
5	0.0316
6	0.0199
7	0.0126

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表3。 均匀先验下二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差，a=3

L（左）	$a=3的平均误差$
1	0.0866
2	0.0690
三	0.0425
4	0.0252
5	0.0171
6	0.0093

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表4。 基于年发展的MLMCMC方法的二维Navier-Stokes方程高斯先验MLMCMC误差[20]

L（左）	$a=2的平均误差$	$a=3的平均误差$
1	0.1318	0.1318
2	0.1233	0.0930
三	0.0872	0.0650
4	0.0718	0.0481
5	0.0578	0.0254
6	0.0345	0.0172

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表5。 基于pCN采样器的二维Navier-Stokes方程高斯先验MLMCMC误差

L（左）	$a=2的平均误差$	$a=3的平均误差$
1	9.5562	9.5562
2	12.1887	9.7116
三	12.9223	7.6241
4	10.7129	5.2595
5	7.6000	3.0512
6	4.8135	1.5752

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表6。 基于均匀先验的MLMCMC方法求解具有高斯先验的二维Navier-Stokes方程的MLMCMC误差

L（左）	$a=2的平均误差$	$a=3的平均误差$
1	2.8709e61	6.7939e180
2	3.5405电子86	1.0810e218号
三	1.3148e82页	6.6531e220
4	3.562e155美元	8.1358e269
5	4.5362e89	1992年9月267日

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