Convexification-based globally convergent numerical method for a 1D coefficient inverse problem with experimental data

Michael V. Klibanov; Thuy T. Le; Loc H. Nguyen; Anders Sullivan; Lam Nguyen

doi:10.3934/ipi.2021068

文章内容

2022年第16卷, 第6版: 1579-1618. Doi公司：10.3934/ipi.2021068

这个问题上一篇文章拟线性各向异性介质反问题的唯一性定理下一篇文章一些反问题的精细不稳定性估计

实验数据下一维系数反问题的基于凸性的全局收敛数值方法

1
美国北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系
2
美国陆军研究实验室，美国马里兰州阿德尔菲粉末厂路2800号，邮编：20783-1197

^*通讯作者：Michael V.Klibanov
^*通讯作者：Michael V.Klibanov

奉献：作者将本文献给世界反问题领域顶尖专家维克托·伊萨科夫教授。

收到日期： 2021年6月

修订日期： 2021年8月

提前访问： 2021年10月

发布时间： 2022年12月

第一作者得到了美国陆军研究实验室和美国陆军研究办公室的资助W911NF-19-1-0044

摘要全文（HTML）图(6)/表(1) 相关论文引用人

摘要

为了从计算模拟的后向散射和实验收集的数据中计算空间分布的介电常数，我们研究了一维双曲方程的系数反演问题。为了解决这个反问题，我们建立了一个新的Carleman估计，然后利用这个估计构造了一个代价泛函，它在Hilbert空间中任意直径的凸有界集上严格凸。严格证明了严格凸性。这个结果称为凸化定理，它是本文的中心分析结果。通过梯度下降法最小化该代价函数，我们得到了系数反问题的期望数值解。我们证明了梯度下降法从该有界集的任意点开始生成一个收敛到极小值的序列。我们还建立了一个定理，证明当测量数据中的噪声和正则化参数趋于零时，极小值收敛到真解。与基于优化的方法不同，我们的凸化方法在不需要很好的初始猜测就能很好地逼近精确解的情况下全局收敛。给出了计算模拟数据和实验收集数据的数值研究结果。

关键词：

数学学科分类：35R30、78A46。

引用：

全文（HTML）

图1。 数据生成和采集设备的示意图。一种称为雷达的设备发射声源，然后收集与时间相关的后向散射波。在物理实验中，我们考虑两种情况：（a）目标放在空中，（b）目标埋在地下几厘米。

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图2。 修正$（x=0，t=0）附近数据的过程的图示。$我们知道当$x$很小时，$c（x）=1$。因此，通过（2.5），$u（x，t）=\frac{1}{2}$表示$t<|\tau（x）|.$因此，我们为$x$和$t$small设置$u（x，t）=\frac{1}{2}$。图2a和图2b是函数$u（0，t）$在该重新分配之前和之后的图形。这些功能摘自第6.3小节中的测试3。

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图3。 函数$q^{（0）}（x，0）$和$q^{。计算这些函数的数据取自带有$5\%$噪声的测试1的数据。

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图4。 真正的空间分布介电常数函数$c_{\mathrm{true}$，其初始版本$c_}\mathrm{init}$由（6.6）计算，其最终重构$c__{\methrm{comp}$由我们的凸化方法计算。显然，在所有情况下，由（6.6）计算的初始解$c_{\mathrm{init}}$已经包含了$c_}\mathrm{true}$的一些信息。以下迭代步骤显著改善了“内含物”的位置及其值。特别是在测试5中(图4e)，凸化方法成功地重建了左侧包含的曲线。

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图5。 目标在空中时的情况。第一行中的原始和预处理数据对应于灌木散射的波。（A）含时原始数据，（B）预处理后的含时后向散射波，（C）计算的介电常数及其最大值为6.76。第二行中的原始数据和预处理数据对应于木桩散射的波。（D）含时原始数据，（E）预处理后的含时后向散射波，（F）计算的介电常数及其最大值为2.2。这两个测试的计算介电常数符合预期，因为它们属于其真实值的区间，参见表1.

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图6。 目标埋在地下的情况。第一行中的原始和预处理数据对应于从金属盒散射的波。（A）含时原始数据，（B）预处理后的含时后向散射波，（C）计算的介电常数及其最大值为5.2。第二行中的原始和预处理数据对应于从金属圆柱体散射的波。第三行中的原始和预处理数据对应于从塑料圆柱体散射的波。（D）含时原始数据，（E）预处理后的含时后向散射波，（F）计算的介电常数及其最大值为4.7。与前两行中的测试不同，我们在预处理数据时选择第三种情况下的上信封，因为$c_{\mathrm{target}}<c_{mathrm}}.$。（G）含时原始数据，（H）预处理后的含时后向散射波，（I）计算的介电常数及其最小值为0.37。这三个测试的计算介电常数符合预期，因为它们属于其真实值的区间，参见表1.

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表1。 五个目标的计算介电常数

目标	$c_｛\mathrm｛bckgr｝｝$	计算了$c{\mathrm{rel}}$	$c_{\mathrm{bckgr}}$	计算了$c{\text{target}}$	真$c_{\text{target}}$
布什	1	6.76	1	6.76	$ [3, 20] $
木桩	1	2.22	1	2.22	$ [2, 6] $
金属盒	4	5.2	$ [3, 5] $	$ [15.6, 26] $	$ [10, 30] $
金属气缸	4	4.7	$ [3, 5] $	$ [14.1, 23.5] $	$ [10, 30] $
塑料圆筒	4	0.37	$ [3, 5] $	$ [1.11, 1.85] $	$\左[1.1，3.2\右]$

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[1]	A.B.巴库申斯基, M.V.Klibanov先生和N.A.科舍夫，一些拟线性偏微分方程不适定Cauchy问题全局收敛数值方法的Carleman权函数，非线性分析。真实世界应用。,34(2017), 201-224. 数字对象标识：2016年10月10日/j.nonrwa.2016.08.008。
[2]	L.波杜因, M.de Buhan先生和S.Ervedoza公司，基于Carleman估计的收敛算法，用于恢复波动方程中的电位，SIAM J.编号。分析。,55(2017), 1578-1613. 数字对象标识：10.1137/16M1088776。
[3]	L.博杜因, M.de Buhan先生, S.Ervedoza公司和A.奥斯，基于Carleman的波浪重建算法，SIAM J.数值分析,59(2021), 998-1039. 数字对象标识：10.1137/20M1315798。
[4]	L.Beilina和M.V.Klibanov，系数反问题的近似全局收敛性和自适应性，施普林格，纽约，2012年。
[5]	M.Boulakia、M.de Buhan和E.Schwindt，基于反应扩散方程中源项Carleman估计的数值重建，ESAIM控制优化。计算变量。,27（2021年），第34页。数字对象标识：10.1051/2020086。
[6]	A.L.Bukhgeim先生和M.V.Klibanov先生，一类多维反问题的整体唯一性，多克。阿卡德。诺克SSSR,260(1981), 269-272.
[7]	H.T.蔡, K.Y.Lee先生和刘德华（T.W.Lau），橡胶和油棕榈叶样品在X波段的介电常数，IEEE传输。地质科学。远程传感器,33(1995), 221-223.
[8]	V.Isakov，偏微分方程的反问题《应用数学科学》第三版，第127页。施普林格，查姆，2017年。数字对象标识：10.1007/978-3-319-51658-5.
[9]	A.L.卡尔切夫斯基, M.V.Klibanov先生, L.Nguyen女士, N.潘通和A.沙利文Krein方法和实验数据的全局收敛方法，申请。数字。数学。,74(2013), 111-127. 数字对象标识：2016年10月10日/j.apnum.2013.09.003。
[10]	A.Katchalov、Y.Kurylev和M.Lassas，逆边界谱问题，查普曼和霍尔/CRC纯数学和应用数学专著和调查，123。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2001年。数字对象标识：10.1201/9781420036220.
[11]	V.A.Khoa、G.W.Bidney、M.V.Klibanov、L.H.Nguyen、L.Ngueen、A.Sullivan和V.N.Astratov，移动点源三维逆散射问题的对流化和实验数据，反问题,36（2020年），第34页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/ab95aa。
[12]	V.A.科阿, M.V.Klibanov先生和L.H.阮，移动点源三维逆散射问题的凸化，SIAM J.成像科学。,13(2020), 871-904. 数字对象标识：10.1137/19M1303101。
[13]	M.V.Klibanov先生反问题和C arleman估计，反问题,8(1992), 575-596. 数字对象标识：10.1088/0266-5611/8/4/009.
[14]	M.V.Klibanov先生和O.V.Ioussoupova公司，三维逆散射问题代价函数的一致严格凸性，SIAM J.数学。分析。,26(1995), 147-179. 数字对象标识：10.1137/S0036141093244039。
[15]	M.V.Klibanov先生，三维声学反问题中的整体凸性，SIAM J.数学。分析。,28(1997), 1371-1388. 数字对象标识：10.1137/S0036141096297364。
[16]	M.V.Klibanov先生，扩散层析成像中的整体凸性，非线性世界,4(1997), 247-265.
[17]	M.V.Klibanov先生，系数反问题的全局唯一性、稳定性和数值方法的Carleman估计，J.反向病态问题。,21(2013), 477-560. 数字对象标识：10.1515/jip-2012-0072。
[18]	M.V.Klibanov先生，不适定Cauchy问题正则化的Carleman估计，申请。数字。数学。,94(2015), 46-74. 数字对象标识：2016年10月10日/j.apnum.2015.02.003。
[19]	M.V.Klibanov先生, L.H.阮, A.沙利文和L.Nguyen女士，用实验数据求解一维逆介质问题的全局收敛数值方法，反向探测。成像,10(2016), 1057-1085. 数字对象标识：10.3934/ipi.2016032。
[20]	M.V.Klibanov，解拟线性偏微分方程不适定Cauchy问题的Carleman权函数，反问题,31（2015），第20页。数字对象标识：10.1088/0266-5611/31/12/125007.
[21]	M.V.Klibanov先生，限制Dirichlet到Neumann映射的凸化，J.反向病态问题。,25(2017), 669-685. 数字对象标识：10.1515/jiip-2017-0067。
[22]	M.V.Klibanov、V.A.Khoa、A.V.Smirnov、L.H.Nguyen、G.W.Bidney、L.Ngueen、A.Sullivan和V.N.Astratov，非线性SAR成像的凸化反演方法，实验收集数据。预打印，arXiv公司：2103.10431, 2021.
[23]	M.V.Klibanov先生和A.E.科尔索夫，三维系数逆散射问题的凸化，计算。数学。申请。,77(2019), 1681-1702. 数字对象标识：2016年10月10日/j.camwa.2018.03.016。
[24]	M.V.Klibanov先生, A.E.科尔索夫和D.-L.阮，逆散射问题的凸化方法及其对埋藏目标实验后向散射数据的性能，SIAM J.成像科学。,12(2019), 576-603. 数字对象标识：10.1137/18M1191658。
[25]	M.V.Klibanov先生, A.E.科尔索夫, L.Nguyen女士和A.沙利文，具有实验数据的一维逆介质散射问题的全局严格凸代价泛函，SIAM J.应用。数学。,77(2017), 1733-1755. 数字对象标识：10.1137/17M1122487。
[26]	M.V.Klibanov、A.E.Kolesov、L.Nguyen和A.Sullivan，用实验数据求解一维系数反问题的一种新的凸化方法，反问题,34（2018），第29页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/公元前6年10月10日。
[27]	M.V.Klibanov，J.Li和W.Zhang，有限Dirichlet-to-Neumann地图数据电阻抗断层成像的凸化，反问题,35（2019年），第33页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/aafecd。
[28]	M.V.Klibanov和A.Timonov，系数反问题的Carleman估计及其数值应用，逆问题和不适定问题系列。VSP，乌得勒支，2004年。数字对象标识：10.1515/9783110915549.
[29]	M.V.Klibanov，J.Li和W.Zhang，逆抛物问题的凸化，反问题,36（2020年），第32页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/ab9893。
[30]	M.V.Klibanov先生, J.李和W.Zhang先生，用于非均匀介质中时间相关波前的反演的会聚，SIAM J.应用。数学。,79(2019), 1722-1747. 数字对象标识：10.1137/18M1236034。
[31]	M.V.Klibanov先生, J.李和W.Zhang先生，非线性系数反问题数值解的线性Lavrent’ev积分方程，SIAM J.应用。数学。,81(2020), 1954-1978. 数字对象标识：10.1137/20M1376558。
[32]	M.V.Klibanov先生, A.斯米尔诺夫, V.A.科阿, A.沙利文和L.Nguyen女士、贯通式非线性SAR成像、，IEEE地球科学和遥感汇刊,59(2021), 7475-7486. 数字对象标识：10.1109/TGRS.2021.3055805。
[33]	M.V.Klibanov和J.Li，反问题和Carleman估计：全局唯一性、全局收敛性和实验数据德格鲁伊特，2021年。
[34]	J.Korpela、M.Lassas和L.Oksanen，1+1维波动方程反问题的正则化策略，反问题,32（2016），第24页。数字对象标识：10.1088/0266-5611/32/6/065001.
[35]	A.Kuzhuget、L.Beilina、M.V.Klibanov、A.Sullivan、L.Nguyen和M.A.Fiddy，野外采集的盲后向散射实验数据和近似全局收敛的反演算法，反问题,28(2012).数字对象标识：10.1088/0266-5611/28/9/095007.
[36]	A.V.Kuzhuget公司, L.贝利纳, M.V.Klibanov先生, A.沙利文, L.Nguyen女士和M.A.Fiddy博士。，使用全局收敛逆方法从测量的盲后向散射数据中进行定量图像恢复，IEEE传输。地质科学。远程传感器,51(2013), 2937-2948. 数字对象标识：10.1109/TGRS.2012.2211885。
[37]	R.Lattès和J.L.Lions，拟可逆性方法：在偏微分方程中的应用1969年，美国爱思唯尔出版公司，纽约。
[38]	M.M.Lavrent’ev先生，关于波动方程的反问题，苏联数学多克拉迪,5(1964), 970-972.
[39]	M.M.Lavrent’ev、V.G.Romanov和S.P.Shishatski，数学物理中的病态问题及其分析数学专著的翻译。AMS，普罗维登斯：RI，1986年。
[40]	T.T.Le和L.H.Nguyen，从横向Cauchy数据恢复非线性抛物方程初始条件的收敛数值方法，J.逆问题和不适定问题, 2020.数字对象标识：10.1515/jiip-2020-0028。
[41]	T.T.Le和L.H.Nguyen，求解拟线性偏微分方程边值问题的凸化梯度下降法和系数反问题，预印本，arXiv公司：2103.04159, 2021.
[42]	B.M.Levitan，逆Sturm–Liouville问题，O.Efimov。VSP，Zeist，1987年。
[43]	米努克斯先生，数学规划：理论与算法，John Wiley&Sons，Ltd.，奇切斯特，1986年。
[44]	C.蒙塔托，从双曲D irichlet-to-Neumann映射稳定地确定一个简单度量、一个covector场和一个势，Comm.偏微分方程,39(2014), 120-145. 数字对象标识：10.1080/03605302.2013.843429.
[45]	L.H.Nguyen，双曲型方程的逆空间依赖源问题和拟可逆方法的类L ipschitz收敛性，反问题,35（2019年），第28页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/aafe8f。
[46]	L.H.阮, Q.李和M.V.Klibanov。，非均匀介质中多频源反问题的收敛数值方法，反向探测。成像,13(2009), 1067-1094. 数字对象标识：10.3934/ipi.2019048。
[47]	N.Nguyen、D.Wong、M.Ressler、F.Koenig、B.Stanton、G.Smith、J.Sichina和K.Kappra，使用陆军研究实验室超宽带同步脉冲重建（UWB SIRE）前向成像雷达的障碍物规避和隐蔽目标检测，程序。SPIE公司, (2007), 1–8.
[48]	V.G.Romanov，数学物理反问题De Gruyter，1986年。
[49]	J.A.量表, M.L.史密斯和T.L.费舍尔，多模态逆问题的全局优化方法。，J.计算物理,103(1992), 258-268.
[50]	A.V.斯米尔诺夫, M.V.Klibanov先生和L.H.阮，单次测量数据一维双曲系数反问题的凸化，反向探测。成像,14(2020), 913-938. 数字对象标识：10.3934/ipi.2020042。
[51]	A.V.Smirnov，M.V.Klibanov，A.Sullivan和L.H.Nguyen，用实验数据求解一维波动方程的反问题，反问题,36（2020年），第32页。数字对象标识：10.1088/1361-6420/abac9a。
[52]	A.N.Tikhonov、A.Goncharsky、V.V.Stepanov和A.G.Yagola，求解不适定问题的数值方法《数学及其应用》，328。Kluwer学术出版集团，多德雷赫特，1995年。数字对象标识：10.1007/978-94-015-8480-7.
[53]	M.Yamamoto，Carleman抛物方程估计及其应用，反问题,25（2009），第75页。数字对象标识：10.1088/0266-5611/25/12/123013.