On the transmission eigenvalue problem for the acoustic equation with a negative index of refraction and a practical numerical reconstruction method

Tiexiang Li; Tsung-Ming Huang; Wen-Wei Lin; Jenn-Nan Wang

doi:10.3934/ipi.2018043

文章内容

2018年第12卷, 第4期: 1033-1054. Doi公司：10.3934/ipi.2018043

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负折射率声波方程的透射本征值问题及实用数值重建方法

1
东南大学数学学院，东南大学城东耀中心，南京211189
2
国立台湾师范大学数学系，台北116，台湾
三。
台湾新竹300国立交通大学应用数学系
4
国立台湾大学NCTS应用数学科学研究所，台北106，台湾

*通讯作者：Jenn-Nan Wang
*通讯作者：Jenn-Nan Wang

收到日期： 2017年10月

修订日期： 2018年2月

发布时间： 2018年8月

国家自然科学基金11471074部分资助了李。黄得到了科技部（MOST）105-2115-M-003-009-MY3，台湾国家理论科学中心（NCTS）的部分支持。林书豪得到了MOST、NCTS和台湾ST Yau中心的部分支持。Wang获得了MOST 105-2115-M-002-014-MY3的部分支持。

摘要全文（HTML）图（6）/表(2) 相关论文引用人

摘要

在本文中，我们考虑了伪螺旋介质中TM模的二维麦克斯韦方程。该系统可以简化为具有负折射率的声学方程。我们首先研究了该方程的传输特征值问题。通过连续有限元方法，我们将简化方程离散化，并通过压缩所有非物理零点将TEP的研究转化为二次特征值问题。然后，我们估计一半的特征值是负的，其阶数为$O（1）$，另一半特征值是正的，其阶数为$0（10^2）$。在本文的第二部分，我们提出了一种实用的数值方法，通过近场测量（即柯西数据）重建非均匀性的支持。基于线性采样方法，我们提出了截断奇异值分解来求解不适定的近场积分方程，其波数不是传输特征值。通过仔细选择一个指示函数，该方法对支架内外的采样点产生不同的跳跃。数值结果表明，我们的方法能够可靠地重建支架。

关键词：

数学学科分类：一次：78A46，35R30；次要：78M10。

引用：

全文（HTML）

图1。 目标D美元$在某个域中$\欧米茄$($\Gamma:=\部分\Omega$)它本身被一条曲线包围C美元$.散射场$u^s个$是由于入射场的散射$u^i（美元）$点源位于${\bf x}_0\（C）$

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图2。 代表区域的四个模型域D美元$

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图3。 特征值美元\lambda$中间层QEP（20）的$[-80,250]$对于中的四个域图2具有$\varepsilon（{\bf x}）=-100$箭头指向对应于每个域的QEP的第一个正特征值

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图4。 三维表面图和二维轮廓图中四个目标的重建结果$\varepsilon（{\bf x}）=-100$和$k^*\在（0，\sqrt{\beta^*}）中$。由红色曲线包围的区域是准确的目标D美元$.使用的分散字段有$3\%$噪音

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图5。 二维轮廓图中四个目标的重建结果$\varepsilon（{\bf x}）=-100$以及不同的$k\in（0，\sqrt{\beta^*}）$。由红色曲线包围的区域是准确的目标D美元$.分散的领域有$3\%$噪音

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图6。 当$k^2美元$是传输特征值。分散的领域有$3\%$噪音

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表1。 刚度和质量矩阵$\varepsilon（{\bf x}）<0$对于$｛\bf x｝\in\bar｛D｝$

内部网格的刚度矩阵	$K=[\int_D\nabla\phi_{i}\cdot\nabla\phi_{j} d日{\bf x}]\suck 0\in\mathbb{R}^{n\times n}$
内/边界网格的刚度矩阵	$E=[\int_D\nabla\phi_{i}\cdot\nabla \psi_{j} d日{\bf x}]\in\mathbb{R}^{n\times m}$
内部网格的质量矩阵	$M_{1}=[\int_D\phi_{i}\phi_{j} d日{\bf x}]\suck 0\in\mathbb{R}^{n\times n}$
	$M_{\varepsilon}=[-\int_D\varepsilon\phi_{i}\phi_{j} d日{\bf x}]\suck 0\in\mathbb{R}^{n\times n}$
内部/边界网格的质量矩阵	$F_{1}=[\int_D\phi_{i}\psi_{j} d日{\bf x}]\in\mathbb{R}^{n\times m}$
	$F_{\varepsilon}=[-\int_D\varepsilon\phi_{i}\psi_{j} d日{\bf x}]\in\mathbb{R}^{n\times m}$
边界网格的质量矩阵	$G_{1}=[\int_D\psi_{i}\psi_{j} d日{\bf x}]\suck 0\in\mathbb{R}^{m\次m}$
	$G_{\varepsilon}=[-\int_D\varepsilon\psi_{i}\psi_{j} d日{\bf x}]\suck 0\in\mathbb{R}^{m\次m}$

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表2。 尺寸n美元$,百万美元$($K\in\mathbb｛R｝^｛n｝次$,$E\in\mathbb{R}^{n\times m}$)具有网格尺寸的基准问题的矩阵$h\约0.004$

域	磁盘	椭圆	花生	心脏
（百万）美元$	(124631, 1150)	(71546,976)	（1490511871）	（1685481492）

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