Persistent hyperdigraph homology and persistent hyperdigraph Laplacians

Dong Chen; Jian Liu; Jie Wu; Guo-Wei Wei

doi:10.3934/fods.2023010

文章内容

2023年第5卷, 第4版: 558-588. Doi公司：10.3934/饲料2023010

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持久超图同调与持久超图Laplacians

1
密歇根州立大学数学系，密歇根州，48824，美国
2
重庆工业大学数学科学研究中心，重庆400054
三。
雁栖湖北京数学科学与应用研究所，北京101408
4
美国密歇根州立大学电气与计算机工程系，密歇根48824
5
美国密歇根州立大学生物化学和分子生物学系，密歇根48824

^*通讯作者：吴杰，wujie@bimsa.cn
^*通讯作者：吴杰，wujie@bimsa.cn;
^*通讯作者：吴杰，wujie@bimsa.cn^*通讯作者：魏国伟，weig@msu.edu
^*通讯作者：魏国伟，weig@msu.edu

收到日期： 2023年4月

修订日期： 2023年8月

提前访问： 2023年9月

发布时间： 2023年12月

摘要全文（HTML）图(7)/表(4) 相关论文引用人

摘要

超图是描述结构化图成员之间复杂关系的有用数学模型，而超有向图则是一种泛化，可以对数据中的不对称关系进行编码。然而，直接从超图中获取拓扑信息仍然是一个挑战。为了解决这个问题，我们在本文中引入了超有向同调。我们还提出了拓扑超有向图Laplacians，它可以从有向和内部组织的数据中提取调和谱和非调和谱。此外，我们通过过滤引入了持久超图同调和持久超图Laplacians，从而能够捕获有向和结构化数据在多个尺度上的拓扑持久性和同伦形状演化。提出的方法为拓扑数据分析提供了新的多尺度代数拓扑工具。

关键词：

数学学科分类：一次：55N31；次要：05C65、18G85。

引文：

全文（HTML）

图1。 一示例2.7中超图$\mathcal{H}$的图示。b,c（c）、和d日分别显示0-超边、1-超边和2-超边。实心黑色顶点表示0-超边，紫色边表示1-超边，粉红色区域表示2-超边。虚线空心圆表示不是0-超边的顶点

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图2。 一例3.16中超图$\vec{\mathcal{H}}$的图示。b,c（c）、和d日分别说明有向0-超边、有向1-超边和有向2-超边。实心黑色顶点表示0-超边，虚线空心圆表示不是定向0-超边缘的顶点。黄色背景与有向边组合表示有向1-超边。绿色背景与2条连续的有向边组合表示有向2条超边。此处，虚线箭头表示不存在的定向边

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图3。 一六顶点系统（$\vec{\mathcal{H}}$）的持久超图。相关顶点之间的距离为$D_{45}=D_{12}=6$，$D_}05}=D{01}=D_23}=D_34}=\sqrt{5}$，以及$D_24}=D_15}=4$。b六顶点系统的持久超图（$\mathcal{\vec{H}}$）。相应顶点之间的距离与一

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图4。 持久超图与持久超图的比较。每个子图中的空心方形标记（$\mathcal{\vec{H}}$）和圆形标记（$\fathcal{H}$）对应于中的五个过滤阶段图3，即，$\mathcal{\vec{H}}_1$，$\mathcal{\fec{H}_2$，…，$\数学{\vec{H}}_5$。和$\mathcal{H} _1个$，$\马塔尔{H} _2 $, ..., $ \马查尔{H} _5个$

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图5。 一六顶点系统（$\mathcal{H}$）的持久超图Laplacians。所有顶点都来自边长为2的正六边形的顶点，即$D_{01}=D_{12}=D_23}=D_34}=D_15}=D_2 50}=2$。b持久超图Laplacians的Betti数（$\beta_{0}$、$\beta _{1}$和$\betab_{2}$）和非调和谱的最小特征值（$\lambda_{0{$、$\ lambda_{1{$和$\ lampda_{2{$）的比较。c（c）六顶点系统（$\vec{\mathcal{H}}$）的持久超有向图Laplacians。相应顶点之间的距离与一.d日持久超图Laplacians的Betti数（$\beta_{0}$、$\beta _{1}$和$\betab_{2}$）和非调和谱的最小特征值（$\lambda_{0{$、$\ lambda_{1{$和$\ lampda_{2{$）的比较。相应的Betti数字无法区分$\mathcal的变化{H} _3个$到$\mathcal{H} _4个$和$\vec｛\mathcal｛H｝｝_3$到$\vec｛\mathcal｛H｝}_4$，而$\lambda_｛0｝$、$\lambda_｛1｝$和$\lambda_｛2｝$可以捕获差异

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图6。 中两个B$_7$C$_2$H$_9$异构体的超图Laplacian分析和超图Laplacian分析的图解一和b第一列显示了B$_7$C$_2$H$_9$的结构表示。第二列显示了移除H原子后的结构表示。第三列显示两个结构的超有向图表示，最后一列显示两种结构的超图表示。最后两列的结果表明，超图拉普拉斯能区分两个异构体，而不是超图拉布拉斯

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图7。 蛋白质-甘氨酸复合物（PDB ID:1a99）的持久超图拉普拉斯分析图解。一一个过滤诱导的拓扑超有向图的图解。蛋白质结构（棕色圆点）仅考虑配体4°范围内的C原子。绿色线段表示定向1-超边，橙色线表示定向2-超边。b蛋白质-甘氨酸复合物的三维结构。c（c）和d日Betti数$\beta_n$（$n$=0，1，2）和蛋白质-甘氨酸复合体的持久超图Laplacian的非调和谱$\lambda_n$（$n$=0,1，2）的最小特征值

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表1。 不同物体上的拓扑拉普拉斯算子

同源	符号	限制	拓扑拉普拉斯算子
图表	$G=（V，E）$，$E\subseteq{\bf{P}}_{2}（V）$	没有人	拉普拉斯图
单形复形	$\mathcal{K}=（V，K）$，$K\subseteq{\bf{P}}（V）$	$\partial_{\ast}K\subseteq K$	组合拉普拉斯算子
有向图	$G=（V，E）$，$E\subseteq{\bf{S}}_{2}（V）$	没有人	路径拉普拉斯
路径复合体	$\mathcal{P}=（V，P）$，$P\subseteq{\bf{\tilde{S}}（V）$	$\部分_{0}点，\partial_{\infty}P \substeq P$	路径拉普拉斯算子
超图	$\mathcal{H}=（V，E）$，$E\subseteq{\bf{P}}（V）$	没有人	超图Laplacian
超有向图	$\vec{\mathcal{H}}=（V，\vec}）$，$\vec{E}\substeq{\bf{S}}（V）$	没有人	超有向图Laplacian

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表2。 例3.18中超图的图解

n美元$	$n=0$	$n=1$	$n=2$
$B_{n+1}$	$\左（\begin{array}{ccc}-1&1&0\\-1&0&1\\1&0\0&-1&1\\1&0&-1\\0&1&-1\\end{arrary}\right）$	$\left（\开始{数组}{cccccc}1&-1&0&1&0&0&0 \\-1&1&0&0&1 \\0&1&-1&0&0\\0&0&-1&1&0\\1&0&1&1&1 \\1\0&0＆1&1$	$6\乘以0$空矩阵
$L_{n}$	$\left（\begin{array}{ccc}4&-2&-2\\-2&4&-2\\end{arrays}\right）$	$\left（\begin｛array｝｛cccccc｝5&-1&-2&0&-1\\-1&5&0&-1&0\\-2&0&5&-1&0\\0&-1&5&0&-2\\0&-2&-1&0&5&5&-1\\-1&0&5&-1\\-1&0&0&0&-2&-1&5\\end｛array｝\right）$	$\左（\开始{数组}{cccccc}3&-2&-2&1&1&0\\-2&3&1&0-2&1\\-2&1&2&0&1\\1&0&-2&3&1&-2\\1&-2&0&3&3&2\\0&1&3&-2\\0&1&1&1&2\\-2&2&3\\end{数组{右）$
$\贝塔{n}$	1	0	2
${\bf{Spec}}（L_{n}）$	{0, 6, 6}	｛1、4、4、6、6、9｝	{0, 0, 1, 4, 4, 9}

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表3。 例3.19中超图的图解

n美元$	$n=0$	$n=1$	$n=2$
$B_{n+1}$	$0\乘以3$空矩阵	$\left（\开始{数组}{ccc}-\frac{1}{2}&\frac}3}{2\sqrt{5}}&-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}}\\end{array}\right）$	$6\乘以0$空矩阵
$L_{n}$	没有人	$\左（\开始{数组}{ccc}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4\sqrt{5}}&\frac}\sqrt}13}}{2\sqrt{10}}\\-frac{3}}{4\sqrt}5}}&\frac{9}{20}&-\ frac{2\sqlt{13}}}{10\sqrt[2}}\\frac{13}{2}sqrt{10}}&-\frac{3\sqrt{13}}{10\sqrt}}&\frac{13}{10}\\end{array}\right）$	2
$\贝塔{n}$	0	2	0
${\bf{Spec}}（L_{n}）$	没有人	{0, 0, 2}	{2}

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表4。 实施例4.4中超有向图基于体积过滤的Betti数和光谱

$\mathcal{H}^{f}（t）$	贝蒂数			光谱
$\mathcal{H}^{f}（t）$	$\beta_{0}$	$\贝塔{1}$	$\贝塔{2}$	$p=0$	$p=1$	$p=2$
$t=0$	三	0	0	{0, 0, 0}	没有人	没有人
$t=\sqrt{2}$	2	0	0	{0, 0, 2}	{2}	没有人
$t=\sqrt{3}$	2	0	0	{0, 0, 2}	{2}	没有人
$t=\sqrt{5}$	1	0	0	{0, 3, 3}	｛3，3，3｝	{3}

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