基于数据的同步量化

图1。  两个双向耦合Rössler振荡器的相位、滞后和准完全同步。状态变量$x_1$和$x_2$分别以红色和蓝色表示。面板（a） ，PS对于耦合$\varepsilon=0.04$说明了状态$x_1$和$x_2$的时间演化，而插图显示了Rosenblum定义的相位差$|\phi_1-\phi_2|$等。[57，58]. 面板（b） ，LS对于$\varepsilon=0.14$，这两个振荡器的行为是相干的，但有时间间隔。面板（c） 质量控制系统$\varepsilon=0.35$。由于频率不匹配，无法实现完全同步

图2。  两个单向耦合洛伦兹振荡器的逃逸事件。面板（a）图中显示了耦合$\varepsilon=7.7$时的主吸引子（红色）和从吸引器（蓝色）。主吸引子是用稠密的时间网格绘制的，而对于从吸引子，为了清晰起见，只绘制了一条逃逸路径。面板（b）显示了主从吸引子之间的剩余距离随时间的变化。红色曲线显示给定时间间隔内的所有剩余距离，而蓝色标记突出显示面板（a）中显示的逃生事件

图3。  基于残差的高斯特征向量示意图。面板（a）：$\｛S^k\｝_｛k=1｝^｛n_｛epo｝｝$，耦合振荡器的三维系统，通过随机初始条件获得。面板（b）：对于固定$k$，子系统向量之间距离的eCDF向量，作为距离大小$R$的函数。面板（c）：对所有$k$重复面板（b）的构造。面板（d）：计算面板（c）中向量集的平均值和协方差，并通过模拟值（蓝线曲线）与真实$\chi^2$分布（红曲线）的直方图验证特征向量的正态性

图4。  单向耦合Lorenz系统参数的二维边缘后验分布使用残差和CIL特征向量通过MCMC采样获得。真正的参数值$\sigma=10$、$\rho=28$、$\ beta=8/3$、$\farepsilon=7$以红色显示，蓝色标记给出采样参数。轮廓线曲线分别描述了$50\%$和$90\%$的置信域

图5。  $\log C（R）$与$\log（R）$plots使用复制的轨迹获得的CIL特征向量。插图显示了关联维数随耦合强度的变化。面板（a）表示单向耦合Lorenz相关和，值为$8$bin，面板（b）不匹配的双向Rössler系统值为$10$bins。log-log曲线显示了特征向量如何随着耦合度以及任何给定耦合的可变性而演变。平均值以黑色表示。$\varepsilon$的各自后验值如下所示图（6）

图6。  Lorenz和Rössler系统耦合常数的直方图，仅使用剩余距离、面板（a）和（b）以及面板（c）和（d）中剩余距离和CIL特征向量的组合将直方图归一化为后验分布的最大仓高度测量。面板（a）、（c）、Lorenz系统：ES、箱子标签A类和A类对于耦合$\varepsilon=1$和$\varεsilon=3$，分别为$'$，转义事件大小写，标签B类和B类$'$用于耦合$\varepsilon=6$和$\varεsilon=7$，以及带有案例标签的CSC类$\varepsilon=9$的耦合。面板（b），（d），Rössler系统：ES，$\varepsilon=0.01$，案例标签A类，PS，$\varepsilon=0.04$，案例标签B类，LS，$\varepsilon=0.14$，箱标签C类，QCS，带箱子标签D类和F类对于耦合$\varepsilon=0.2，\varepsilon=0.35$。混沌抑制案例标签E类表示$\varepsilon=0.24$

图7。  单位圆上的Kuramoto相位耦合振荡器。单位圆上的圆点表示面板（a）中$\kappa=0.1$和面板（b）中$\ kappa=0.9、2.5、5.5$处耦合振荡器的$N_p=20$分量，并带有各自的颜色。箭头矢量给出顺序$r$和平均相位$\psi$。矢量的长度随着耦合强度的增加而增加

图8。  复制轨迹的平均值和标准偏差特征向量，$N_p=500$Kuramoto振荡器。面板（a）描述了平均特征向量的eCDF，面板（b）描述了不同耦合强度下标准偏差特征向量的cCDF。浅绿色、红色、蓝色、品红色、青色和深绿色分别表示$\kappa=0.1、0.3、0.5、0.9、2.5$和，$5.5$

图9。  $N_p=500$振荡器Kuramoto模型耦合参数的后验直方图使用平均值和标准偏差作为特征向量来获得参数。非同步值$\kappa=0.1、0.3$的情况由绿色和红色表示，临界值情况$\kappa=0.5$由蓝色表示，较高同步级$\kappa=0.9、2.5、5.5$由品红色、青色和深绿色表示。直方图被归一化为后验分布的最大箱子高度测量值

图10。  单向耦合的洛伦兹振子轨迹和吸引子。在耦合值处，主设备显示为红色，从设备显示为蓝色（a）$\varepsilon=0$（b）$\varepsilon=3$（c）$\varepsilon=6$和（d）$\varepsilon=8$。底层主吸引子保持不变，而从吸引子的几何结构会随着耦合度的增加进行多次修改，直到恢复到与主吸引器相同的原始形状

图11。  用于双向耦合的Rössler轨迹的点云。联轴器$\varepsilon=0.01、0.04、0.14、0.2、0.24、0.35$in的轨迹以红色和蓝色显示（a），（b），（c），（d）、和（f）分别是。参数不匹配产生了丰富的同步状态，包括PS（$\varepsilon=0.04$）、LS（$\valepsilon=0.14$）和准CS（$\varepsilon=0.2$和$\varesilon=0.35$）。此外，耦合$\varepsilon=0.24$处的周期轨道揭示了混沌抑制。在准CS状态下，振荡器看起来很相似。然而，对于每个不同的耦合值，底层吸引子是不同的