Multilayer heat equations: Application to finance

Andrey Itkin; Alexander Lipton; Dmitry Muravey

doi:10.3934/fmf.2021004

文章内容

2022年第1卷, 第1版：99-135。Doi公司：10.3934/fmf.2021004年

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多层热方程：在金融中的应用

1
纽约大学坦登工程学院，美国纽约布鲁克林地铁技术中心1号10楼
2
美国马萨诸塞州坎布里奇市麻省理工学院Connection Science and Engineering
三。
以色列耶路撒冷希伯来大学耶路撒冷工商管理学院
4
莫斯科国立大学，俄罗斯莫斯科

^*通讯作者：Andrey Itkin
^*通讯作者：Andrey Itkin

收到日期： 2021年2月

修订日期： 2021年6月

发布时间： 2022年3月

德米特里·穆拉维（Dmitry Muravey）承认俄罗斯科学基金会（Russian Science Foundation）在20-68-47030号拨款项下的支持

摘要全文（HTML）图(4)/表(2) 相关论文引用人

摘要

本文提出了一种求解单因子抛物型方程的多层（ML）方法。我们的方法为众所周知的有限差分和蒙特卡罗方法提供了一种强大的替代方法。我们讨论了这种方法的各种优点，它明智地结合了半分析和数值技术，并提供了一种快速准确地找到相应方程解的方法。为了介绍该方法的核心，我们考虑了多层热方程，该方程在物理学中已知的时间相对较长，但在解决财务问题时从未使用过。因此，我们用ML方法对定量金融的分析机制进行了扩充。我们演示了如何使用我们的方法解决数学金融的各种问题。具体来说，我们为时间相关的单因素短期利率模型（如Black-Karasinski和Verhulst）开发了有效的障碍期权定价算法。此外，我们还介绍了如何快速准确地求解著名的Dupire方程。数值算例表明，与传统的有限差分法相比，我们的方法在求解相应的偏微分方程时效率更高，比已知的方法更快、更准确。

关键词：

数学学科分类：初级：35Q79、35Q62、60G15、60H30。

引用：

全文（HTML）

图1。 通过使用每个边界$y_i（t）$的3个点和多项式曲线，为给定的外部边界$y_0（t）$和$y_N（t）$以及层数$N$构造的内部层

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图2。 分析和ML解决方案的比较（a），以及分析、ML和FD解决方案（$41\乘以40$节点的网格）（b），$\sigma_i=0.5，T=1$。在这里分析表示问题的解析解，ILT公司-ML解决方案，财务总监-FD溶液，DiffILT公司-ML解相对于解析解的相对误差，DifFD公司-FD方法相同

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图3。 $\sigma_i=0.3，T=0.5$的分析、ML和FD解决方案的比较。在这里分析表示问题的解析解，ILT公司-ML解决方案，财务总监-FD溶液，DiffILT公司-ML解相对于解析解的相对误差，DifFD公司-FD方法相同

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图4。 分段常数$\sigma（x）$的ML和FD解的比较。在这里ILT公司表示ML解决方案，财务总监-FD溶液，迪夫-FD解相对于ML解的相对误差

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表1。 试验参数

$y_0美元$	$y_N（美元）$	美元\西格玛$	T美元$	N美元$	百万美元$
-1.0	1	0.5	1	20	16

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表2。 第二次实验参数

$y_0美元$	$y_N（美元）$	T美元$	N美元$	百万美元$	M（M）
-1.0	4	2	50	16	100

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