增强高斯随机场：理论与计算

图1。  带测量噪声的增强高斯随机场预测的图示。有三层：输入层、隐藏层和输出层。隐层由增广高斯随机场控制。不同阶次的观测值及其导数被集成到同一个域中进行预测

图2。  【复合函数（无噪）】AGRF对可观测、一阶导数和二阶导数的预测。案例1：数据仅包括可观测数据。案例2：数据包括可观测和一阶导数。案例3：数据包括可观测和二阶导数。案例4：数据包括可观测值、一阶导数和二阶导数。AGRF能够整合任何订单的可观察和衍生产品，无论其收集地点如何。当有更多信息可用时，AGRF预测会得到改善

图3。  【复合函数（无噪）】不同情况下AGRF预测精度的比较。请参见图2了解更多解释

图4。  [阻尼谐振子（无噪声）]用不同方法预测位移、速度和相空间图。GP：数据包括可观测和一阶导数；用观测数据预测位移，用一阶导数数据预测速度。GEK：数据包括可观测和一阶导数；所有数据在同一随机场中联合使用，以同时预测位移和速度。AGRF：数据包括可观测、一阶导数和二阶导数；将所有数据一起用于同一随机场中，以同时预测位移和速度。GEK的预测比GP更好，而AGRF的预测比GEK更准确。通过在同一随机域中同时使用所有可用信息，我们可以构建最准确的代理模型

图5。  [阻尼谐振子（无噪声）]不同方法预测精度的比较。请参见图4了解更多解释

图6。  [Korteweg-De-Vries方程（有噪声）]顶：研究了$t=0.5$时的解。底部：AGRF在不同噪声水平下预测可观测、一阶导数和二阶导数。即使噪声高达40%，AGRF也具有良好的性能。正如人们所料，当噪声较低时，AGRF预测效果更好

图7。  [Korteweg-De-Vries方程（有噪）]不同噪声水平下预测精度的比较。请参见图6了解更多解释

图8。  [Burgers方程（噪声）]顶：研究了$t=0.5$时的解。底部：通过不同的AGRF校准预测可观测、一阶导数和二阶导数。尽管数据中存在噪声，也就是说，等式中的$\delta_0=\delta_1=\delta _2=0$，但没有使用$\delta$：无噪声公式。(87). 一个$\delta$：相同的噪声强度用于不同的阶导数，即等式中的$\delta _0=\delta _1=\delta_2$。(87). 多个$\delta$：不同的噪声强度用于不同的阶导数，即与等式相同。(87). 当使用无噪公式时，尽管数据中存在噪声，但过拟合是一个问题。当对不同阶导数使用相同的噪声强度时，由于不同阶导数具有不同的尺度，因此预测中的不确定性与数据不相容。当公式与等式完全相同时。（87），AGRF表现最佳

图9。  [Burgers方程（噪声）]不同AGRF校准的预测精度比较。请参见图8了解更多解释。在“no$\delta$”的情况下，相对$L_2$错误大于$1.6$并且超出界限