A fractional-order delay differential model with optimal control for cancer treatment based on synergy between anti-angiogenic and immune cell therapies

Nasser Sweilam; Fathalla Rihan; Seham AL-Mekhlafi

doi:10.3934/dcdss.2020120

文章内容

2020年第13卷, 第9版: 2403-2424. Doi公司：2012年10月103934日

这个问题上一篇文章时滞病毒感染模型的双稳态分析下一篇文章具有时滞抑制的反应扩散方程解的动力学

基于抗血管生成和免疫细胞协同作用的癌症治疗最优控制分数阶时滞微分模型

1
埃及开罗大学科学院数学系
2
阿拉伯联合酋长国大学数学科学系，阿联酋Al-Ain，15551
三。
也门萨那大学教育学院数学系

^*通讯作者：Nasser Sweilam
^*通讯作者：Nasser Sweilam

收到日期： 2018年10月

修订日期： 2019年12月

提前访问： 2019年10月

发布时间： 2020年6月

摘要全文（HTML）图(6)/表(5) 相关论文引用人

摘要

本文基于抗血管生成和免疫细胞治疗的协同作用，提出了一个分数阶时滞微分模型的癌症治疗最优控制问题。受控模型由18个微分方程组成。引入离散时滞来表示免疫系统与癌细胞相互作用所需的时间，并考虑分数阶导数来反映过程中的记忆和遗传特性。免疫疗法和抗血管生成疗法的两个控制变量被认为可以减少癌细胞的负荷。考虑了保证控制问题解的存在唯一性的必要条件。我们通过在时间上向前求解状态系统和向后求解伴随系统来对最优控制问题的解进行数值近似。通过数值模拟验证了理论结果。

关键词：

数学学科分类：92C50、93A30、37N25、37N35、34K28。

引用：

全文（HTML）

图1。 使用IOCM对两个控制治疗案例和不同值$d_{tau}$，$\alpha=0.96$的状态变量进行数值模拟

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图2。 使用IOCM对$d_{tau}$，$\alpha=0.96$的控制变量和不同值进行数值模拟

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图3。 当$d_{tau}=3$和$\alpha=0.98$使用IOCM和两个对照治疗病例时，状态变量之间的关系

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图4。 使用IOCM对$\alpha$和$d_{\tau}=1$的控制变量和不同值进行数值模拟

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图5。 使用IOCM，变量$T（T-d_{tau}）、I（T-d_{tau{）、V（T-d_s{tauneneneep）$和$R

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图6。 变量之间的关系T型(t吨−d日_τ),我(t吨−d日_τ),五(t吨−d日_τ)和R（右）(t吨−d日_τ)和T型(t吨),我(t吨),五(t吨)和R（右）(t吨)的值α=0.92和d日_τ=2使用IOCM

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表1。 系统（2）-（19）的参数及其描述

分数功率参数	描述
$\gamma^{\alpha}$	肿瘤生长率
$a^{\alpha}$	肿瘤抗原性
$\lambda^{\alpha}$，$\delta_{u}^{\alpha}$$	树突状细胞扩增的参数
$\alpha_{A_{1}}^{\alpha}$	Ang-1的最大增长率
$\delta_{A_{1}}^{\alpha}$	Ang-1降解率
$\alpha_｛A_｛2｝｝^｛\alpha｝$	Ang-2的最大增长率
$\delta_{A_{2}}^{\alpha}$	Ang-2降解率
$\theta_{A_{2}}$	$\frac{1}{2}$max癌细胞需要触发$A{2}$生产
$\alpha_{v}$	胶质瘤细胞持续表达$VEGF$的速率
$\alpha_{v_{2}}$	$VEGF$产量的最大增长率
$\delta_{v}^{\alpha}$	$VEGF降解率$
$\alpha_{y}^{\alpha}$	内皮细胞增殖率
$\delta_{y}^{\alpha}$	内皮细胞凋亡率
$s^{\alpha}$	从微血管到$EC的转换因子$
$\gamma_{B}^{alpha}$	微血管破裂的最大速率为$EC$
$\rho^{\alpha}$	$\frac{1}{2}$max$\frac{VEGF}{EC}$需要引起退化、增长等。
$\omega^{\alpha}$	微血管成熟的最大速率$EC
$\theta_{y}^{alpha}$	$\frac{1}{2}$max$\frac{VEGF}{EC}$维持$ECs$生存所需
$\theta_{v_{a}}^{alpha}$	诱导$EC$细胞周期所需的$\frac{1}{2}$max$\ frac{VEGF}{EC}$
$\theta_{EC}^{alpha}$	$\frac{1}{2}$max$\frac{A2}{A1}$比率，其中$A2$阻止$A1的tie-2受体$
$\theta_{B}^{alpha}$	$\frac{1}{2}$max$\frac{A1}{A2}$比率，其中$A1$用于船舶到期
$\tau^{\alpha}$	抗$VEGF$抗体与$VEGF的结合率$
$\rho_{v_{a}}^{\alpha}$	抗$VEGF$抗体的降解率
$r_{0}^{\alpha}$，$k_{2}^}\alpha}$，$k_{3}^{\alpha}$，$s_{1}^{\ alpha}$	肿瘤进展参数
$\alpha_｛i｝^｛\alpha｝，$$i=1，。。。，7$$M^{\alpha}$
$k_{4}^{\alpha}，$$C_{1}^{\ alpha}$，$s_{j}^{\salpha}美元，$j=1,2$，$\delta_{A}^{\falpha}$，	T细胞扩张参数
$\delta_{E}^{alpha}$，$\delta _{H}^{alpha}$$
$p_{c}^{\alpha}$，$p_}1}^{\ alpha}美元，$p_2}^{\salpha}$，$p _{4}^{\alpha}$，	IL-2、TGF-$\β$和IL-10浓度参数
$I{2}^{\alpha}$，$s_{4}^{\ alpha}美元，$\tau_{c}^{alpha}$，$\tao_{s}^{alpha}$\ tau^{\alpha}$$

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表2。 系统（2）-（19）的参数值[38]

$参数$	参数的值
$a^{\alpha}$	$（10^{-5}天^{-1}）^{\alpha}$
$C^{\alpha}$	0.3纳克^{-1}毫升)^{\字母}$
$I_｛1｝^｛\alpha｝$	$（0.4纳克^{-1}毫升)^{\字母}$
$I_{2}^{\alpha}$	$（0.75克^{-1}毫升)^{\字母}$
$K_{2}^{\alpha}$	$（1.2）^{\alpha}$
$K_{3}^{\alpha}$	$（11）^{\alpha}$
$K_{4}^{\alpha}$	$（0.33）^{\alpha}$
$M^{\alpha}$	$（10^{7}单元格）^{\alpha}$
$M_｛E｝^｛\alpha｝$	$（3\times10^{6}单元格）^{\alpha}$
$M_{H}^{\alpha}$	$（6\times10^{6}单元格）^{\alpha}$
$M_{R}^\字母$	$（1\times10^｛6｝个单元格）^｛\alpha｝$
$p_{1}^{\alpha}$	$（1.8\次10^{-8}ng^{-1}毫升第^{-1}天单元格^{-1{）^{\alpha}$
$p_{2}^{\alpha}$	$（1.1\次10^{-7}ng^{-1}毫升第^{-1}天单元格^{-1{）^{\alpha}$
$p_{3}^{\alpha}$	$（1.4\次10^{-8}ng^{-1}毫升第^{-1}天单元格^{-1{）^{\alpha}$
$p_{4}^{\alpha}$	$（1.3\次10^{-10}ng^{-1}毫升第^{-1}天单元格^{-1{）^{\alpha}$
$p_｛c｝^｛\alpha｝$	$（1.5\次10^{-7}ng^{-1}mL天^{-1}单元格^{-1-}）^{\alpha}$
$r_{0}^{\alpha}$	$（0.9天^{-1}）^{\alpha}$
$R_{1}^{\alpha}$	$（2\乘以10^{7}）^{\alpha}$
$s^{\alpha}$	$（0.7\压裂{EC}{\mu M}）^{\alpha}$
$S_{1}^{\alpha}$	$（3.5纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$S_{2}^{\alpha}$	$（2.9纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$S_{3}^{\alpha}$	$（1.7纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$S_｛4｝^｛\alpha｝$	$（0.9纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$V_{1}^{\alpha}$	$（3.5纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$V_{2}^{\alpha}$	$（2.9纳克毫升^｛-1｝）^｛\alpha｝$
$V_{3}^{\alpha}$	$（0.14纳克毫升^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{1}^{\alpha}$	$（23天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{2}^{\alpha}$	$（16天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{3}^{\alpha}$	$（9.9天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{4}^{\alpha}$	$（1.9天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{5}^{\alpha}$	$（5.1天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{6}^{\alpha}$	$（2.1天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_{7}^{\alpha}$	$（0.022天^{-1}）^{\alpha}$
$\alpha_｛A_｛1｝｝^｛\alpha｝$	$（0.24\压裂{ng}{M\次\mu\次/d}）^{\alpha}$
$\alpha_{A_{2}}^{\alpha}$	$（1.92\frac{ng}{M\times\mu\times-day}）^{alpha}$
$\alpha_{V}^{\alpha}$	$（3\次10^{-6}\frac{ng}{M\次\mu\次/d}）^{\alpha}$
$\alpha_{V_{2}}^{\alpha}$	$（3.7\times10^{-2}\frac{ng}{M\times\mu\times-day}）^{alpha}$
$\alpha_{Y}^{\alpha}$	$（0.198天^{-1}）^{\alpha}$
$\gamma_{1}^{\alpha}$	$（2.1天^{-1}）^{\alpha}$
$\gamma_{B}^{alpha}$	$（0.8天^{-1}）^{\alpha}$
$\theta_{A_{2}}^{alpha}$	$（10^{6}单元格）^{\alpha}$
$\theta_｛B｝^｛\alpha｝$	$（1）^{\alpha}$

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表3。 使用IOCM和无对照病例的客观功能值的比较$T_{f}=100$,$d_{\tau}=2$

$\alpha美元$	$J（u_A^{\ast}，u_M^{\asp}）$无控件	带有两个控件的$J（u_A^{\ast}，u_M^{\asp}）$
1	$7.7864\乘以10^{8}$	$9.402886\乘以10^{4}$
0.90	$1.90928\乘以10^{9}$	8.9381美元乘以10^{4}$
0.80	$1.7003\乘以10^{9}$	$8.1454\乘以10^{4}$
0.70	$9.0261\乘以10^{8}$	6.7976美元乘以10^{4}$
0.60	$2.1615\乘以10^{8}$	$4.5080\乘以10^{4}$
0.50	$1.8270\乘以10^{7}$	$2.9438\乘以10^{4}$
0.40	$1.5197\乘以10^{6}$	$1.9119\乘以10^{3}$
0.30	2.5346美元\乘以10^｛5｝$	$ 855.8715 $

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表4。 目标函数的价值$J（u_A^{\ast}，u_M^{\asp}）$,$T_{f}=50$具有不同的值$d_{\tau}$和控制箱

$d_{\tau}$	$J（u_A^{\ast}，u_M^{\asp}）$
0	$4.2401\乘以10^4$
1	4.2419美元\乘以10^4$
三	$4.2447\乘以10^4$
5	$4.2467\乘以10^4$
10	$4.2504\乘以10^4$

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表5。 IOCM、GEM和$d_｛\tau｝＝1$ $T_{f}=10$

$\阿尔法$	方法	$J（u_A^{\ast}，u_M^{\asp}）$
1	国际奥委会	3.2798美元\乘以10^3$
	宝石	8.8514美元乘以10^3$
0.98	IOCM公司	2.6575美元\乘以10^3$
	宝石	$1.2839\乘以10^4$
0.90	IOCM公司	$11506\乘以10^3$
	宝石	$7.1531\乘以10^4$
0.80	IOCM公司	$ 414.5745 $
	宝石	$1.4226\乘以10^6$

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引用人

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