The number of limit cycles of Josephson equation

Xiangqin Yu; Hebai Chen; Changjian Liu

doi:10.3934/dcdsb.2023208

文章内容

2024年第29卷, 第7版: 2947-2971. Doi公司：10.3934/cdsb.2023208年

这个问题上一篇文章四阶抛物方程基于降维格式的差分谱逼近下一篇文章延迟朊病毒产生的多群方法

Josephson方程的极限环数

1
中山大学数学学院（珠海），珠海，519082
2
中南大学HNP-LAMA数学与统计学院，长沙，410083

^*通讯作者：刘长建
^*通讯作者：刘长建

收到日期： 2023年6月

修订日期： 2023年10月

提前访问： 2023年12月

发布时间： 2024年7月

摘要全文（HTML）图(9)/表(3) 相关论文引用人

摘要

本文研究了Josephson方程$\beta\frac{d^{2}\Phi}{dt^{2{}}+（1+\gamma\cos\Phi）\frac}d\Phi}{dt}+\sin\Phi=\alpha$的不可收缩极限环的存在性和个数，其中$\Phi\In\mathbbS^{1}$和$（\alpha，\beta，\gamma）\In\MathbbR^{3}$。具体地，通过适当的变换，我们证明了这种类型的极限环变为某些Abel方程的极限环。通过发展Abel方程极限环的方法，我们证明了至多存在两个不可追的极限环，并且上限是尖锐的。最后，结合本文的结果（Chen and Tang，J.Differential Equations，2020），我们证明了Josephson方程的可收缩和不可收缩极限环的个数之和最多也是两个，并给出了出现两个极限环时极限环的可能构形。

关键词：

数学学科分类：34C07；34A34；34C25。

引用：

全文（HTML）

图1。 系统分叉图的横截面（3）

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图2。 S_{3}中$（a，b，c）的相图$

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图3。 S_{1}中$（a，b，c）的无穷大稳定性$

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图4。 S_{5}中$（a，b，c）的无穷大稳定性$

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图5。 函数$b=\psi_{1}（a，c）、b=\lvert-c\sqrt{1-a^2}\rvert$和$b=\ lvert-c\rvert$s之间的关系，其中“$0$”和“$1$”表示相应区域中的极限环数

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图6。 方程（4）的解曲线$

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图7。 当$x\in[x^{*}，x^{**}+2\pi]时方程（4）的解曲线$

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图8。 方程（26）的解曲线$

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图9。 方程（1）的数值极限环

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表1。 方程（4）零解的稳定性

参数的分类	零解的稳定性
$b>0$	上不稳定下稳定
$b=0，a>0$	上稳定和下稳定
$a=b=0，c>0$	上不稳定下稳定
$a=b=0，c<0$	上稳定下不稳定

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表2。 系统（4）在无穷远处的稳定性

地区	参数分类	$y=+\infty的稳定性$	$y=-\infty的稳定性$
$S_{1}$	$0<b<\psi{2}（a，c），0<a<a{*}，c<0$	不稳定的	稳定的
$S_{2}$	$\begin{collected}\psi{2}（a，c）<b<\varphi（a、c），0<a<a{*}，c<0\\0<b<\ varphi$	不稳定的	不稳定的
$S_{3}$	$\begin{聚集}\varphi（a，c）<b<\psi_{1}（a、c），0<a<a^{*}，c<0\\varphi$	不稳定的	不稳定的
$S_{4}$	$\psi{1}（a，c）<b<-c\sqrt{1-a^{2}}，0<a<a^{*}，c<0$	稳定的	不稳定的
$S_{5}$	$\开始{聚集}b\geq-c\sqrt{1-a^{2}}，0<a<a^{*}，c<0\\b>\psi{1}（a，c）$	稳定的	不稳定的
$S_{6}$	$\开始{聚集}-c\sqrt{1-a^{2}}\leqb<\psi{1}$	不稳定的	不稳定的
$S_{7}$	美元>1$	不稳定的	不稳定的
HL美元$	$b=\varphi（a，c），0<a<1，c<0$	不稳定的	不稳定的
美元SC_｛11｝$	$\开始{聚集}b=\psi{1}（a，c）$	-	不稳定的
$SC_{12}$	$b=\psi_{1}（a，c），0<a<a^{*}，c<0$	-	不稳定的
$SC_{2}$	$b=\psi{2}（a，c），0<a<a{*}<1，c<0$	不稳定的	-
$P_｛1｝$	$a=1，b=\psi_{1}（1，c），c<0$	-	不稳定的
$SN_{1}$	$a=1，b>\psi{1}（1，c）$	稳定的	不稳定的
$SN_{2}$	$a=1,0<b<\psi_{1}（1，c）$	不稳定的	不稳定的
营业税$$	$a=1，b=0，c<0$	不稳定的	不稳定的
美元HLC$	$0<a<1，b=c=0$	不稳定的	不稳定的
$高等教育$	$a=0，b=\varphi（0，c），c<0$	-	-

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表3。 的签名$\压裂{dy}{dx}$在不同的部分

	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ
$\在x-a中$	+	+	-	-	+
$y+\压裂{f（x）}{g（x）{$	+	-	+	-	+
$\压裂{dy}{dx}$	+	-	-	+	+

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