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2024年，第29卷, 第5版: 2227-2256. Doi公司：10.3934/dcdsb.2023175
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受控三维Hindmarsh-Rose神经元模型的动力学和Jacobi稳定性

  • 华南理工大学数学学院，广州510640

收到日期： 2023年5月
修订日期： 2023年9月
提前访问： 2023年10月
发布时间： 2024年5月

第一作者获得国家自然科学基金（12071151号）和广东省自然科学基金资助（2021A1515010052号）

摘要 全文（HTML） 图(20)/表(3) 相关论文 引用人
    摘要

  • 本文提出了一种具有隐藏混沌的受控三维Hindmarsh-Rose神经元模型。我们系统地研究了该模型动力学生成机制的内部特征，如Lyapunov稳定性、余维一分岔、放电模式和能量消耗、Jacobi稳定性和双参数动力学。数值模拟表明，该模型表现出多种复杂现象，包括周期吸引子、混沌的周期加分岔、混沌的逆周期双倍分岔和隐混沌。基于亥姆霍兹定理，计算了哈密尔顿能量函数。进一步估算了不同放电模式（包括混沌放电和隐藏放电）之间转换过程中的能量消耗。从几何角度出发，利用KCC理论研究了轨道的雅可比稳定性，包括平衡轨道和周期轨道。结果表明，某些平衡点和两个周期轨道在李雅普诺夫稳定意义下是雅可比不稳定的。更有趣的是，在李亚普诺夫稳定但雅可比不稳定平衡的双参数区域，人们不仅观察到动力学状态在周期动力学和混沌动力学之间交替，而且还发现对应于该区域的哈密尔顿能量呈现不规则振荡。此外，还描述了偏离向量在平衡点附近的动力学。

    数学学科分类：一次：34D20、34D45、34H10；次要：34K18。

    引用：
    舒

    \开始{方程式}\\结束{方程式{
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  • 中国

  • 图1。 初始值为（0.1，0.1，0.1）的模型（2）的参数值（$a$，$b$，$c$，$d$，$r$，$\alpha$，$I$，$s$，$k$）=（1，2.88，1，5，0.01，-1.6，1.386，1.4，0.14）：（a）隐藏混沌吸引子；（b） $x-z$平面中的庞加莱图像

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    图2。 模型（2）的平衡点在颜色为$a=1$、$b=2.88$、$c=1$、$1d=5$、$r=0.01$、$\alpha=-1.6$、$k=0.14$的区域内渐近稳定。（a） $E_{*1}$；（b） 黄色：$E_{*2}$；红色：$E_{*3}$；（c） 黄色：$E_{*4}$；红色：$E_{*5}$；蓝色：$E_｛*6｝$

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    图3。 参数（$a$、$b$、$c$、$d$、$r$、$\alpha$、$s$、$k$）=（1，2.88，1，5，0.01，-1.6，1.4，0.14）的$（I，x）$-平面中作为单个分岔参数的$I$的分岔图。“S形”曲线是作为一个参数的$I$的平衡曲线。标签表示以下分叉：$H_{1}$（次临界-Hopf）、$H_}2}$（超临界-Hopf）、$H_{3}$（亚临界-Hopv）、$LP_{i}$（$i=1,2$）（鞍节点）、$LCC_{i{$（$i=1,2,3$）（折叠循环）、$NS$（中性鞍）、$PD$（周期加倍）

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    图4。 修正了模型（2）中的参数$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$1d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=4$，$I=3.482$和$k\in[-1，2]$：（a）Lyapunov指数$\lambda_{L_{1，2}}$；（b） 模型的分岔图（2）

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    图5。 模型（2）的不同吸引子随着参数$k$的变化而变化，其中$a=1$、$b=2.88$、$c=1$、$1d=5$、$r=0.01$、$\alpha=-1.6$、$s=4$、$I=3.482$。（a） 自激混沌吸引子；（b） 第4阶段；（c） 第2阶段；（d） 第1阶段

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    图6。 模型（2）的Lyapunov指数$\lambda_{L_{1，2}}$随参数$I$变化，其中$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$1d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=1.4$，$k=0.14$。（a） $I\以[0.8，1.5]$表示；（b） （a）的Lyapunov指数与$I\in[1.37，1.4]的扩大$

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    图7。 模型（2）的分歧图随参数$I$的变化而变化，其中$a=1$、$b=2.88$、$c=1$、$1d=5$、$r=0.01$、$\alpha=-1.6$、$s=1.4$、$k=0.14$。（a） $I\以[0.8，1.5]$表示；（b） 用$13\in[1.3,1.45]扩大了（a）的分岔图$

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    图8。 膜电位$x$和哈密尔顿能量$H$的时间响应对应于图5在不同的放电状态下。（a） 混沌放电状态；（b） 第4期爆发；（c） 第二阶段爆发；（d） 尖峰状态

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    图9。 对于$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$1d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=1.4$，$k=0.14$，模型（2）的周期加吸引子和逆周期双重吸引子随参数$I$的变化而变化。（a） -（g）周期i，i=2,3,4,6,7,8；（h） 隐藏混沌吸引子；（i） 第2阶段；（j） 第1阶段

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    图10。 膜电位$x$和哈密尔顿能量$H$的时间响应对应于图9在不同的放电状态下。（a） -（g）爆破状态，周期i，i=2，3，4，6，7，8；（h） 隐藏放电状态；（i） 第二阶段爆发；（j） 尖峰状态

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    图11。 条件$m_{1}>0$和$m的时间变化_{1} n个_{1} $a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$1d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=1.4$，$k=0.14时周期轨道的雅可比稳定性>l>0$$

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    图12。 选择$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$和初始条件（0.1，0.1，0.1），当平衡$E_{*1}$渐近稳定但Jacobi不稳定时，分叉参数$s$和$I$的动力学行为区域

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    图13。 哈密尔顿能量演化的三维投影图12当参数$s$和$I$都不同时。参数和初始条件为图12

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    图14。 对应的横截面图13：（a）I=1.37；（b） I=1.376。参数和初始条件为图12

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    图15。 选择$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$I=1.37$，$k=0.14$和初始条件（0.1，0.1，0.1），模型（2）的各种轨道：（a）周期；（b） 周期；（c） 隐性混沌；（d） 隐藏的混乱

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    图16。 具有$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$I=1.376$，$k=0$和初始条件（0.1，0.1，0.1）的模型（2）的周期轨道

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    图17。 偏差向量及其分量$\xi_{i}（t）的时间演化，i=1，2，3$接近平衡$E_{*1}$，对于$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=1.4$，$k=0.14$，$\ xi_{1}（0）=\xi_2}（O）=\xi_{3}\xi}{2}（0）=\dot{\xi}}{3}（1）=10^{-3}$

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    图18。 偏差向量及其分量$\xi_{i}（t）的时间演化，i=1，2，3$接近平衡$E_{*1}$对于$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=4$，$i=3.482$，$\ xi_{1}（0）=\xi_2}（O）=\xi_{3}\xi}{2}（0）=\dot{\xi}}{3}（1）=10^{-3}$

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    图19。 模型（2）自激混沌吸引子的相图随参数$k$的变化而变化，其中$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$1d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，$s=4$，$I=3.482$

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    图20。 对于（a）$s=1.4$，$k=0.14$，$a=1$，$b=2.88$，$c=1$，$d=5$，$r=0.01$，$\alpha=-1.6$，不稳定指数$\delta（t）$接近平衡$E_{*1}$的时间演化；（b） $s=4$，$I=3.482$.$\xi{1}（0）=\xi{2}$

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    表1。 单参数特殊分岔点的相关数据1美元$对于模型（2），当k美元=0.14$

    点数 参数$I$ 特征值 正常形式参数
    $H_{1}$ 1.497005 -0.0323，$\pm 0.7885i$ $l_{1}=0.9842560$
    $H_{2}$ 1.282783 -0.6877，$\pm0.1427i$ $l_{1}=-33.91497$
    $H_{3}$ 0.877383 -14.9281，$\pm0.0288i$ $l_{1}=1.414337\cdot10^{-3}$
    $LP_{1}$ 1.010659 0，-4.1815，0.3223 $a=-1.368223\cdot10^{-3}$
    $LP_{2}$ 1.100115 0, -9.6282, 0.1341 $a=-6.524908\cdot10^{-4}$
    每日美元$ 1.868616 -0.0192，0.3263美元\pm1.1772i$ 40.96223
    NS美元$ 0.4669841 -4.7724、0.3039、-0.0007 美元-$
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    表2。 平衡点的Lyapunov稳定性和Jacobi稳定性$E_{*i}$

    参数（s，I，k） 美元\ Delta$ 平衡 特征值 李亚普诺夫稳定性 雅可比稳定性
    $ (1.4, 1.379, 0.14) $ $ + $ $E_{*1}$ -0.0586，-0.1467美元\pm 0.5164i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    $ (1.4, 1.38, 0.14) $ $ + $ $E_{*1}$ -0.0580，-0.1454美元\pm0.5197i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    $ (1.4, 1.385, 0.14) $ $ + $ $E_{*1}$ -0.0556，-0.1390美元\pm 0.5361i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    $ (1.4, 1.386, 0.14) $ $ + $ $E_{*1}$ -0.0551，-0.1378$\pm 0.5393i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    $ (1.4, 1.39, 0.14) $ $ + $ $E_{*1}$ -0.0534，-0.1326美元\pm 0.5517i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    美元（4.34820.14）$ $ + $ $E_{*1}$ -8.4520, 0.1201, 0.0261 鞍点 雅可比不稳定
    $ (4, 3.482, 0.27) $ $ + $ $E_{*1}$ -8.8684, 0.1225, 0.0237 鞍点 雅可比不稳定
    $ (4, 3.482, 0.35) $ $ + $ $E_{*1}$ -9.1537, 0.1217, 0.0229 鞍点 雅可比不稳定
    $ (4, 3.482, 0.4) $ $ + $ $E_{*1}$ -9.3449, 0.1204, 0.0225 鞍点 雅可比不稳定
    (2.80125, 3.482, 2.80125) $ 0 $ $E_{*2}$ -23.8209，$-0.0411\pm0.0140i$ 稳定的节点焦点 雅可比不稳定
    $E_{*3}$ 3.6462, 0.9086, -0.0183 鞍点
    $ (1, 3.482, 3) $ $ - $ $E_{*4}$ -0.0114，2.2441美元\pm1.4621i$ 马鞍形前轴 雅可比不稳定
    $E_{*5}$ -0.0107，1.4783美元\pm3.3520i$ 马鞍形前轴
    $E_｛*6｝美元$ -0.0105，0.5995美元\下午4.2375i$ 马鞍形前轴
    $ (1, 3.482, 3.1) $ $ - $ $E_{*4}$ -0.0114，2.2795美元\pm1.4358i$ 马鞍形前轴 雅可比不稳定
    $E_{*5}$ -0.0107，1.4627美元\pm3.4044i$ 马鞍形前轴
    $E_{*6}$ -0.0105，0.5369美元\pm4.3001i$ 马鞍形前轴
    $ (1, 3.482, 3.2) $ $ - $ $E_{*4}$ -0.0113，2.3143美元\pm1.4100i$ 马鞍形前轴 雅可比不稳定
    $E_{*5}$ -0.0107，1.4453美元\pm3.4569i$ 马鞍形前轴
    $E_{*6}$ -0.0105，0.4719美元\pm4.3615i$ 鞍式焦点
    美元（1，3.482，3.3）$ $ - $ $E_{*4}$ -0.0113，2.3482美元\pm1.3847i$ 马鞍形前轴 雅可比不稳定
    $E_{*5}$ -0.0107，1.4260美元\pm3.5095i$ 马鞍形前轴
    $E_{*6}$ -0.0105，0.4045美元\pm4.4215i$ 鞍式焦点
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    表3。 周期轨道的Lyapunov稳定性和Jacobi稳定性

    参数$I$ 周期轨道 初始值 李亚普诺夫稳定性 雅可比稳定性
    I美元=1.413$ 周期2 (0.1534, -5.154, 1.195) 稳定 不稳定
    I美元=1.43$ 周期1 (0.2604, -5.281, 1.214) 稳定 不稳定
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