Periodic forcing on degenerate Hopf bifurcation

Qigang Yuan; Jingli Ren

doi:10.3934/dcdsb.2020208

文章内容

2021年第26卷, 第5版: 2857-2877. Doi公司：10.3934/dcdsb.202020年

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退化Hopf分岔的周期强迫

袁启刚和
任静丽^,

河南省大数据研究院，郑州大学，郑州450001

^*通讯作者：renjl@zzu.edu.cn
^*通讯作者：renjl@zzu.edu.cn

收到日期： 2019年10月

修订日期： 2020年4月

提前访问： 2020年7月

发布时间： 2021年5月

摘要全文（HTML）图(10) 相关论文引用人

摘要

本文研究周期强迫对退化Hopf分岔系统的影响。采用两种方法研究周期受迫系统周期解的分岔。通过平均方法得到了该系统经历了周期解的折叠分岔、跨临界分岔甚至退化Hopf分岔。另一方面，Poincaré映射也表明系统将经历折叠分岔、跨临界分岔、Neimark-Sacker分岔和翻转分岔。最后，我们对这两种方法进行了比较。

关键词：

数学学科分类：初级：34C23、37G15、37G10。

引用：

全文（HTML）

图1。 （a）退化Hopf分岔附近的相图$r_{1}=0.3$,$r_{2}=0.6$,$a_{1}=0.42$,$a_{2}=0.6$,$b_{1}=1.0857$,$b_{2}=0.25$（b）退化Hopf分岔附近的相图$r_{1}=0.3$,$r_{2}=0.6$,$a_{1}=0.447$,$a_{2}=0.6$,$b_{1}=1.13$,$b_{2}=0.25$

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图2。 平均系统的相图，红点是平衡点。（a）对于$\mu=0.06$,$\nu=3$,$\α=1$,$\贝塔=2$.（b）对于$\mu=0$,$\nu=3$,$\α=1$,$\贝塔=2$

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图3。 （b）中受迫系统（8）的分岔图$（a_{1}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，b{1}=1.13，r{2}=0.6，a{2}=0.6，b{2}=0.25$（c）和（d）（b）的部分放大。系统（8）的解如下：区域1-不稳定周期一解和稳定拟周期解；区域2-不稳定周期一解和不稳定周期二解；区域3-不稳定周期一解、不稳定周期二解和周期四解；区域4-稳定和不稳定的周期一解；区域5-稳定和不稳定的周期一解

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图4。 （a）中受迫系统（8）的分岔图$（a_{1}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，b{1}=0.85，r{2}=0.4，a{2}=0.6，b{2}=0.4$（b），（c）（a）的部分放大。系统（8）的解如下：区域1-不稳定周期一解、不稳定周期二解和周期四解；区域2-稳定和不稳定的周期一解；区域3-不稳定周期一解和稳定拟周期解；区域4-无周期解；区域5-不稳定周期一解和不稳定周期二解；区域6-稳定和不稳定的周期一解

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图5。 （a）中受迫系统（26）的分岔图$（b_{1}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，a{1}=0.2，r{2}=0.4，a{2}=0.4，b{2}=0.162$（b）（a）的部分放大。系统（26）的解如下：区域1-稳定和不稳定的周期一解，不稳定的拟周期解；区域2-不稳定周期一解；区域3-不稳定周期一解、不稳定周期二解和周期四解；区域4-不稳定周期一解，稳定周期二解；区域5-稳定和不稳定的周期一解

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图6。 （a）中受迫系统（26）的分岔图$（b_{1}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，b{1}=0.6，r{2}=0.4，a{2}=0.6，b{2}=0.4$（b）单周期鞍的分岔曲线。（c）（d）（a）的部分放大。系统（26）的解如下：区域1-稳定和不稳定的周期一解；区域2-不稳定周期一解和稳定拟周期解；区域3-不稳定周期一解、不稳定周期二解和周期四解；区域4稳定周期一解决方案；区域5-不稳定周期一解，不稳定周期二解；区域6-稳定和不稳定的周期一解

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图7。 （a）中受迫系统（27）的分岔图$（a_{2}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，a{1}=0.2，b{1}=0.5，r{2}=0.4，b{2}=0.162$.（b）中受迫系统（27）的分岔图$（a_{2}，\epsilon）$-飞机$r_{1}=0.3，a_{1}=0.6，b_{1}=0.83，r_{2}=0.4，b_{2}=0.4$

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图8。 中受迫系统（28）的分岔图$（b_｛2｝，\epsilon）$-箱子的平面$r{1}=0.3，a{1}=0.2，b{1}=0.83，r{2}=0.4，a{2}=0.4$

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图9。 （a）中受迫系统（28）的分岔图$（b_{2}，\epsilon）$-飞机$r{1}=0.3，a{1}=0.6，b{1}=0.85，r{2}=0.4，a{2}=0.6$（b）、（c）和（d）（a）的部分放大。系统（28）的解如下：区域1-不稳定周期一解、不稳定周期二解和某些子区域的周期二解或混沌；区域2-稳定和不稳定的周期一解；区域3-不稳定周期一解和稳定拟周期解；区域4-不稳定周期一解和不稳定周期二解；区域5-稳定和不稳定的周期一解；区域6-不稳定周期一解、不稳定周期二解和周期四解

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图10。 周期受迫系统的相图和庞加莱截面。（a）系统（27）中的稳定周期二轨道$r_{1}=0.3$,$r_{2}=0.4$,$a_{1}=0.6$,$a_{2}=0.4$,$b_{1}=0.83$,$b_{2}=0.4$,$\epsilon=0.337$（b）系统（27）中的稳定周期轨道$r_{1}=0.3$,$r_{2}=0.4$,$a_{1}=0.6$,$a_{2}=0.4$,$b_{1}=0.83$,$b_{2}=0.4$,$\epsilon=0.277$.（c）系统（8）中的圆环$r_{1}=0.3$,$r_{2}=0.6$,$a_{1}=0.45183$,$a_{2}=0.6$,$b_{1}=1.13$,$b_{2}=0.25$,$\epsilon=0.277$.（d）圆环的庞加莱截面

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