Supercritical elliptic problems on the round sphere and nodal solutions to the Yamabe problem in projective spaces

Juan Carlos Fernández; Oscar Palmas; Jimmy Petean

doi:10.3934/dcds.2020123

文章内容

2020年第40卷, 第4版: 2495-2514. Doi公司：10.3934/2012年12月23日

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圆形球体上的超临界椭圆问题和投影空间中Yamabe问题的节点解

1
马特马提卡省、西恩西亚学院、墨西哥国立自治大学、联阿援助团、CDMX、C.P.04510、墨西哥
2
马提马提卡研究中心，墨西哥瓜纳华托CIMAT，GTO，C.P.36023

^*通讯作者
^*通讯作者

收到日期： 2019年9月

发布时间： 2020年1月

J.C.Fernández得到了UNAMA-DGAPA的博士后奖学金的支持。
O.Palmas在PAPIIT-DGAPA IN115119项目下得到了联阿援助团的部分支持。
J.Petean得到了SEP-CONACYT教育研究基金会220074的资助

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摘要

给定$n$维圆形球面上的等参函数$f$，我们考虑形式为$u=w\circ-f$的函数来简化半线性椭圆问题

$-\增量_{g0}u+\λu=\lambda\left\vert u\right\vert^{p-1}u\qquad\text{on}\mathbb{S}^n$

当$\lambda>0$和$1<p$时，转换为形式为$w“+\frac｛h（r）｝｛\sin r｝w’+\frac｛\lambda｝｛\ell^2｝\left（\vert w\vert^{p-1}周-w\right）=0$，其中$h$是一个严格递减的函数，在此区间中正好有一个零，而$\ell$是几何常数。利用双重打靶方法，结合这类常微分方程振动解的结果，我们得到了第一个问题的一系列符号变换解，这些符号变换解在与$f$相关的等参超曲面上是常数，并且在生成等参族的一个或两个焦点子流形上是爆破的。我们的方法也适用于$p>\压裂{n+2}{n-2}$，即在超临界情况下。此外，利用调和态射的约简，我们证明了复四元数空间上Yamabe问题的符号变换解的存在性和多重性，并将等参hipersurfaces的有限不交并作为正则水平集。

关键词：

数学学科分类：一次：34B16、53C21、58E20、58J05；次级：35B06、35B33、35B44。

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