On one-lee weight and two-lee weight $ \mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4[u] $ additive codes and their constructions

Jie Geng; Huazhang Wu; Patrick Solé

doi:10.3934/amc.2021046

文章内容

2023年第17卷, 第5版: 1196-1209. Doi公司：10.3934/amc.2021046

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关于单足重量和双足重量$\mathbb{Z} _2\马特布{Z} _4个[u] $加法码及其构造

1
安徽大学数学科学学院，合肥230601
2
I2M，（法国马赛中央艾克斯马赛大学CNRS）

^*通讯作者：吴华章
^*通讯作者：吴华章

收到日期： 2021年3月

修订日期： 2021年7月

提前访问： 2021年10月

发布时间： 2023年10月

本研究得到安徽大学教育部智能计算与信号处理重点实验室开放式基金资助

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摘要

本文主要研究$\mathbb{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} [u]$-加法代码。来自$\mathbb的灰色地图{Z}（Z）_{2} ^{\alpha}\times\mathbb{Z}（Z）_{4} ^{\beta}[u]$到$\mathbb{Z}（Z）_{4} 定义了^{\alpha+2\beta}$，并证明了它是一个保权和保距离映射。$\mathbb的Lee权重枚举器之间的MacWilliams类型恒等式{Z}（Z）_{2} \mathbb公司{Z}（Z）_{4} 证明了[u]$-可加码及其对偶。单重$\mathbb的一些性质{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} [u]$-加法码和双权投影$\mathbb{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} 讨论了[u]$-加法码。作为主要结果，单重和双重$\mathbb的一些施工方法{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} 研究了[u]$-可加码，并给出了几个例子来说明这些方法。

关键词：

数学学科分类：初级：94B05、94B15、94B60。

引用：

全文（HTML）

表1。 一对一$\mathbb美元{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} [单位]$-加法代码

案例	重量	备注
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	8000美元{1}$	$a+4a_｛7｝=2k_｛1｝$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	$4k_{3}$	$a+4a{7}=2k{3}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	$4k_{2}$	$a+4a{7}=2k{2}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	$4k_{1}$	$a+4a{7}=2k{1}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	/	/
$w_｛L｝（\mathbf｛c｝）\neq0，w_｛L｝（（2+u）\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（2\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（u\mathbf｛c｝）=0$	$a+4a_{7}$	/

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表2。 两个重量$\mathbb美元{Z}（Z）_{2} \mathbb{Z}（Z）_{4} [单位]$-加性代码

案例	$m_{1}$	$m_{2}$	备注
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	$4（k{1}+k{3}）$	8000美元{1}$	$a=2000_{3} -4a类_{7} ，k{1}\neq k{3}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	$4（k{1}+k{2}）$	8000美元{1}$	$a=2000_{2} -4a类_{7} ，k{1}\neq k{2}$
$w_｛L｝（\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（2\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（（2+u）\mathbf｛c｝）\neq0，w_｛L｝（u\mathbf｛c｝）\neq0$	$4（k{1}+k{2}）$	8000美元{2}$	$a=2000_{1} -4a_{7} ，k{1}\neq k{2}$
$w_{L}（u\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	$a+6k{1}+4a{7}$	8000美元{1}$	$a+4a_{7}\neq2k_{1}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	$4（k{1}+k{2}）$	8000美元{2}$	$a=4000美元_{2} -2千_{1} -4a类_{7} ，k{1}\neq k{2}$
$w_｛L｝（\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（2\mathbf｛c｝）\neq0，w_｛L｝（u\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（（2+u）\mathbf｛c｝）\neq0$	$4（k{1}+k{2}）$	8000美元{1}$	$a=4000美元_{1} -2千_{2} -4a类_{7} ，k{1}\neq k{2}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}（（2+u）\mathbf{c}）\neq0，w_{L}$	$4（k{1}+k{3}）$	8000美元{1}$	$a=4000美元_{1} -2千_{3} -4a类_{7} ，k{1}\neq k{3}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	/	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	/	/	/
$w_{L}（u\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	$a+2k{3}+4a{7}$	$4k_{3}$	$a+4a_{7}\neq2k_{3}$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	/	/	/
$w_｛L｝（\mathbf｛c｝）=w_｛L｝（（2+u）\mathbf｛c｝）\neq0，w_｛L｝（u\mathbf｛c｝）\neq0，w_｛L｝（2\mathbf｛c｝）=0$	/	/	/
$w_{L}（u\mathbf{c}）=w_{L}$	$a+2k{2}+4a{7}$	$4k_{2}$	$a+4a_｛7｝\neq2k_｛2｝$
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}（2\mathbf}c}$	/	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）=w_{L}$	/	/	/
$w_{L}（2\mathbf{c}）=w_{L}（（2+u）\mathbf}）\neq0，w_{L}$	$a+2k{1}+4a{7}$	$4k_{1}$	$a+4a_{7}\neq2k_{1}$
$w_{L}（\mathbf{c}）\neq0，w_{L}（u\mathbf{c}）\neq，w_}L}$	/	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）\neq0，w_{L}（2\mathbf}c}$	/	/	/
$w_{L}（\mathbf{c}）\neq0，w_{L}$	/	/	/

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表3。 代码参数比较

示例	$\Phi（\mathcal{C}）的长度$	$\Phi（\mathcal{C}）的大小$	李的重量$\Phi（\mathcal｛C｝）$	Lee在数据库中的权重http://www.Z4codes.info/	备注
例5.3（i）	8	4	8	8/10	与数据库中的一样好
例5.3（ii）	10	2	12	/	新值
例5.5（i）	32	4	32	32/42	与数据库中的一样好
例5.5（ii）	30	4	32	30/40	优于数据库
例5.5（iii）	62	4	64	82
例5.7	36	8	32	/	新值
示例6.2（i）	9	4	6和12	9/12	根据数据库优化
示例6.2（ii）	16	4	8和16	16/21	根据数据库进行优化
例6.4（i）	18	4	16和20	18/24	改进了数据库
例6.4（ii）	11	4	12和13	11/14	对数据库的改进
示例6.6	46	8	36和48	/	新值

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