Some two-weight and three-weight linear codes

Chengju Li; Sunghan Bae; Shudi Yang

doi:10.3934/amc.2019013

文章内容

2019年第13卷, 第1版: 195-211. Doi公司：10.3934/amc.2019013

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一些二重和三重线性码

1
华东师范大学可信计算上海重点实验室，上海200062
2
韩国大田大学数学系，305-701
三。
曲阜师范大学数学科学学院，山东273165

*通讯作者：李成菊
*通讯作者：李成菊

收到日期： 2018年8月

发布时间： 2018年12月

李成菊获得了11701179号国家自然科学基金、17YF1404300号上海帆船项目和KJ-17-007号科学技术信息保障实验室基金的支持。
杨树迪获得了国家自然科学基金11701317和11431015号、中国博士后科学基金2017M611801号和江苏省1701104C号博士后科研基金计划项目的资助。

摘要全文（HTML）图(0)/表(7) 相关论文引用人

摘要

让$\Bbb F_q美元$是有限域$q=百万英镑$元素，其中美元$是一个奇素数百万美元$是一个正整数。对于正整数$t（美元）$，让$D\subet\Bbb F_q^t$然后让$\mbox美元{事务}_ m$是来自的跟踪函数$\Bbb F_q美元$到上面美元\Bbb F_p$。我们定义了美元$-二进制线性码$\mathcal C_D$通过

$\mathcal C_D=\{\textbf{C}（a_1、a_2、…、a_t）：a_1，a_2。。。，a_t∈\Bbb F_{p^m}$

哪里

$\textbf{c}（a_1，a_2，…，a_t）=\大（\mbox{事务}_ m（a_1x_1+a_2x_2+··+a_tx_t）\大）{（x_1，x_2，…，x_t，∈D}$

在本文中，我们将给出线性码的权重枚举器$\mathcal C_D$在以下两种情况下：

1$D={（x_1，x_2，…，x_t）∈\Bbb F_q^t\setminus\{（0,0，…，0）\}:\mbox{事务}_ m（x_1^2+x_2^2+··+x_t^2）=0\}$;

2$D={（x_1，x_2，…，x_t）∈\Bbb F_q^t:\mbox{事务}_ m（x_1^2+x_2^2+··+x_t^2）=1\}$.

结果表明$\mathcal C_D$是双权重代码，如果$tm美元$是偶数和三重码，如果$tm美元$这两种情况都很奇怪。重量枚举器$\mathcal C_D$在第一种情况下，将结果归纳为[17]和[18]. 的完整权重枚举器$\mathcal C_D$也进行了调查。

关键词：

数学学科分类：一次：94B05、11T71；次要：11T23。

引用：

全文（HTML）

表1。 定理3.2中奇数的权重枚举器$tm美元$

重量	频率
0	1
$（p-1）p^{tm-2}$	美元^{tm-1}-1$
美元（p-1）（p^{tm-2}-p^{\压裂{tm-3}2}）$	$\压裂{p-1}2（p^{tm-1}+p^{\压裂{tm-1{2}）$
$（p-1）（p^{tm-2}+p^{frac{tm-3}2}）$	压裂{p-1}2（p^{tm-1}-p^{\压裂{tm-1}2}）$

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表2。 定理3.2中偶数的权重枚举器$tm美元$

重量	频率
0	1
$（p-1）p^{tm-2}$	$p^{tm-1}+（-1）^{（压裂{m（p-1）}4+1）t}（p-1$
$（p-1）\big（p^{tm-2}+（-1）^{（\frac{m（p-1）}4+1）t}p^{\frac}tm-2}2}\big）$	$（p-1）\big（p^{tm-1}-（-1）^{（压裂{m（p-1）}4+1）t}p^{压裂{tm-2}2}big）$

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表3。 定理4.1中奇数的权重枚举器$tm美元$

重量	频率
0	1
$（p-1）p^{tm-2}$	美元^{tm-1}-1$
$（p-1）p^{tm-2}+（-1）^{压裂{（p-1$	$\frac｛p-1｝2（p^｛tm-1｝+p^｛\frac｛tm-1｝2｝）$
$（p-1）p^{tm-2}+（-1）^{压裂{（p-1$	压裂{p-1}2（p^{tm-1}-p^{\压裂{tm-1}2}）$

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表4。 定理4.1中偶数的权重枚举器$tm美元$

$2\nmid\big（\frac{m（p-1）}4+1\big）t$
重量	频率
0	1
$（p-1）p^{tm-2}$	$\压裂{p+1}2p^{tm-1}-\压裂{p-1}2p^{\压裂{tm-2}2}-1$
$（p-1）p^{tm-2}+2p^{frac{tm-2{2}$	$\frac{p-1}2\big（p^{tm-1}+p^{frac{tm-2}2}\big）$

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表5。 定理4.1中偶数的权重枚举器$tm美元$

$2\中等\大（\压裂{m（p-1）}4+1\大）t$
重量	频率
0	1
$（p-1）p^{tm-2}$	$\压裂{p+1}2p^{tm-1}+\压裂{p-1}2p{\压裂{tm-2}2}-1$
（p-1）便士美元^{tm-2}-2p^{\压裂{tm-2}2}$	$\压裂{p-1}2\big（p^{tm-1}-p^{\frac{tm-2}2}\big）$

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表6。 奇数定理5.1的完全权枚举器$tm美元$

$N_0=N-\sum_{\rho\in\Bbb F_p^*}N_\rho$
$N_\rho（\rho\in\Bbb F_p^*）$	频率
0	1
$p^{tm-2}$	美元^{tm-1}-1$
美元^{tm-2}-p^{\压裂{tm-3}2}$	$\frac｛p-1｝2（p^｛tm-1｝+p^｛\frac｛tm-1｝2｝）$
$p^{tm-2}+p^{\压裂{tm-3}2}$	压裂{p-1}2（p^{tm-1}-p^{\压裂{tm-1}2}）$

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表7。 定理5.1中偶数的完全权重枚举器$tm美元$

$N_0=N-\sum_{\rho\in\Bbb F_p^*}N_\rho$
$N_\rho（\rho\in\Bbb F_p^*）$	频率
0	1
$p^{tm-2}$	$p^{tm-1}+（-1）^{（压裂{m（p-1）}4+1）t}（p-1$
$p^{tm-2}+（-1）^{（压裂{m（p-1）}4+1）t}p^{压裂{tm-2{2}$	$（p-1）\大（p^{tm-1}-（-1）^{（压裂{m（p-1）}4+1）t}p^{压裂{tm-2}2}big）$

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