对称性、可积性和几何：方法和应用（SIGMA）

SIGMA公司1（2005），015，17页nlin（在线）。SI/0511035标准    https://doi.org/10.3842/SIGMA.2005.015

三维二阶超可积系统

威拉德·米勒
明尼苏达大学数学学院，美国明尼苏达州明尼阿波利斯，55455

2005年10月28日收到；2005年11月13日在线发布

摘要
经典（或量子）超可积系统n个-维黎曼流形是可积的势为2的哈密顿系统n个-1功能独立的运动常数多项式中的动量，可能的最大值。若这些运动常数都是二次的，则系统是二阶超积分的。这种系统具有显著的特性。典型的特性是1） 它们可以通过多种方式进行积分，而对积分方式的比较将导致关于系统的新事实，2） 它们是多可分的，3）二阶对称产生一个闭二次代数及其量子表示二次代数理论给出了关于薛定谔算子和其他算子的光谱分辨率对称操作符，4）有很深的关于特殊类的展开式的联系函数和精确和准精确可解系统理论。对于n个=2作者E.G.Kalnins和J.Kress，已经确定了这些系统的结构，并对所有可能的空间和势进行了分类。在这里，我将讨论我们最近的工作，并宣布更困难的案件的新结果n个=3。我们考虑具有非退化项的经典超可积系统三维共形平坦实空间或复空间上的势。我们证明了基于代数的此类系统存在一个标准结构3×3对称矩阵，二次代数总是在6阶闭合。我们描述了Stäckel变换，在不同空间上的超可积结构，并给出证据表明我们的超可积系统是Stäckel变换复欧几里德空间或复3球面上的系统。我们还指出了如何扩展经典二维和三维超可积性包括算符（量子）情况的理论。

关键词：超可积性；二次代数；共形平坦空间。

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