图和Rooks对Stirling数和Lah数的$xD$-推广

摘要

本文研究了Weyl代数$W=langlex，D|Dx-xD=1rangle$中两类Stirling数和与正规排序问题相关的Lah数的推广。W$中任何带有$m$$x$和$n$$D$的单词$\omega\都可以用正常顺序形式$\omega=x^{m-n}\sum_{k\ge0}{{omega}\brace{k}}x表示^{k} D类^{k} $，其中${{omega}\brace{k}}$是单词$\omega$的第二种斯特林数。本研究考虑了$W$中限制词$\omega$在序列$\{（xD）^{k}}_{k\ge0}$和$\{xD上的展开^{k} x个^{k-1}\}_{k\ge0}$。有趣的是，单个展开式中的系数是第一类Stirling数和Lah数的推广。系数将通过列举与单词$\omega$相关的一些组合结构来确定，包括减少准阈值图的森林分解和Ferrers板上的非攻击性车位置。扩展到$q$-类似物，还研究了$q$变形Weyl代数中单词的组合解释的加权细化。