摘要
对于$n\geq 1$，让$C_n$表示顺序为$n$的循环组。设$G=C_n\oplusC_{mn}$，其中$n\geq2$和$m\geq1$，并设$k\in[0，n-1]$。众所周知，$G$中的任何$mn+n-1+k$项序列都必须包含一个长度最多为$mn+n-1-k$的非平凡零和。相关的反问题是刻画那些最大长度为$mn+n-2+k$的序列，这些序列不能包含长度最多为$mn+n-1-k$的非平凡零和子序列。对于$k\leq 1$，这是Davenport常数的反问题。对于$k=n-1$，这是关于短零和子序列的$\eta（G）$不变量的反问题。对于$C_n\oplus C_n$和$k\in[2，n-2]$，以及$n\geq 5$prime，Grynkiewicz，Wang和Zhao的一篇论文中推测它们必须具有形式$S=e_1^{[n-1]}\boldsymbol{\cdot}e_2^{[n-1]}\ boldsympol{\cdot}（e1+e2）^{[k]}$，在某些基础$（e1，e2）$上，该猜想在许多情况下成立，后来扩展到复合模$n$。在本文中，我们关注的是案例$m\geq 2$。假设$C_n\oplusC_n$中$k\in[2，n-2]$的推测结构成立，我们刻画了$C_n\folusC_{mn}$中最大长度为$mn+n-2+k$的所有序列的结构，这些序列最多不能包含$mn+n-1-k$长度的非平凡零和，表明它们必须具有$S=e_1^{[n-1]}\boldsymbol{\cdot}e_2^{[sn-1]}的形式\粗体符号{\cdot}（e_1+e_2）^{[（m-s）n+k]}$用于[1，m]$中的某些$s\和基$（e_1，e_2带有$\mathsf{ord}（g_1+g_2）的$=mn$。根据以前的工作，这将一般秩为2的阿贝尔群的结构特征化简化为$C_p\oplus C_p$与$p$prime的情形。此外，对于$m=1$，我们给出了$k=n-1$的精确结构的新证明。结合已知结果，我们的结果在许多情况下无条件地建立了$G=C_n\oplusC_{mn}$中极值序列的结构，包括当$n$仅能被最多$7$的素数整除时，当$n\geq2$是素数幂且$k\leq\frac{2n+1}{3}$时，或当$n$$是复合的且$k=n-d-1$或$n-2d+1$是真的，非平凡除数$d\mid-n$。
