具有平行坐标的交互式优化：探索用于决策支持的多维空间

1.简介

做出决策需要平衡多个相互竞争的标准，以确定最优选的替代方案。对于简单的日常决策，这通常可以仅靠直觉和常识来完成。

对于更大、更复杂的决策，常识可能不够，可以使用多标准决策分析（MCDA）将问题形式化，从而改进决策并使其更加透明(基尼，1982年)。

要做出更好的决策，需要清楚了解可用的替代方案。然而，研究表明，如果没有足够的支持，即使对某一领域的专家来说，也很难确定替代品，而且往往是不完整的(León，1999年;邦德等人，2008年;Malczewski和Rinner，2015年). MCDA根据所考虑的分支，对备选方案采用两种不同的观点(Cohon，1978年;黄和马苏德，1979年). 多属性决策分析（MADA）旨在帮助从预定子集中选择最佳方案(Chankong和Haimes，2008年;Malczewski和Rinner，2015年). 这样的交替聚焦方法有忽略重要替代方案并导致次优解决方案的风险(基尼，1992年;比奇，1993年;Belton等人，1997年;冯和林，1999;贝尔顿和斯图尔特，2002年;Siebert和Keeney，2015年). 另一方面，多目标决策分析（MODA）方法根据决策者（DM）的目标系统地生成备选方案。因此，他们可以被视为促进以价值为中心的思维，因为他们要求DM首先考虑驱动价值，然后才考虑实现这些价值的方法(基尼，1992年)。

然而，解决多目标问题意味着，与单目标问题相反，找不到一个定义明确的解决方案，而是一组同样有趣的解决方案帕累托最优解决。如果不降低另一个目标的价值，就无法在一个目标中改进这种解决方案。

当统称为帕雷托前部，他们告知目标之间的最佳权衡。为了利用这些结果，DM必须明确一些偏好，以便从Pareto方面确定最满意的解决方案。偏好的表达，包括可接受范围、权衡信息或目标的相对权重，可以通过以下三种方式之一进行(黄和马苏德，1979年;Branke等人，2008年):

i.一旦确定了所有帕累托最优解，则为后验概率。其优点是决策者对可用选项有一个完整的概述。另一方面，如果解决方案空间很大，则计算可能会非常长，决策者可能没有时间等待，并且该过程肯定会计算出许多不感兴趣的浪费解决方案。即使时间不是问题，可视化、解释和理解帕累托最优结果的困难也会损害DM的信任，尤其是当考虑到三个以上的目标时。

ii、。在开始任何计算之前，先进行先验。这是最有效的方法，因为理论上只计算一个解。然而，从决策者的角度来看，这可能也是最困难的，因为它假设他们完全了解自己的偏好和可接受的权衡，并且能够精确地制定它们。在实践中，当处理复杂的跨学科问题时，在计算出解决方案之前，通常无法获得这方面的知识，因此，获得不可行或不令人满意的解决方案的风险很高(Meignan等人，2015年;Piemonti等人，2017b)。

iii.随着优化的进展，以交互方式进行。这是对先验和后验方法局限性的常见反应。通过让人类决策者直接参与搜索过程(角，1986年)交互式优化（IO）允许用户在生成解决方案时从中学习，优化他们的偏好，进而将搜索限制在解决方案空间的最相关区域。

本文的目的是强调当前文献中限制IO应用于大型问题的差距，并提出解决这些差距的新方法。

1.1. 交互式优化的背景

交互式优化由四个主要组件组成，这些组件组合在一起形成人机交互系统：用户、图形用户界面（GUI）、解决方案生成器和分析员（图1)。

在准备期间分析阶段用户尽其所知描述问题和标准，分析员据此开发模型。反馈循环可以与搜索阶段重叠，确保模型在用户需求发展时捕捉到用户需求(费希尔，1985年). 在搜索阶段，用户通过GUI指导解决方案的生成。在这里，分析师的角色变得更加被动(斯普龙克，1981年). IO的基本机制是在生成阶段、探索阶段和指导阶段之间的振荡。通常，该过程从以下开始生成并向用户提供一个或多个预先确定的解决方案探索他们研究和比较GUI中显示的特征，并通过交流自己的喜好和厌恶来对其作出反应，也通过GUI进行形式化。这些输入用于引导朝着解空间的期望区域的后续计算。该过程重复进行，直到用户确信已经找到了最令人满意的解决方案。

人机交互的主要前提是，通过利用各方各自的优势，可以更好地解决复杂问题(费希尔，1985年;do Nascimento和Eades，2005年;Hamel等人，2012年). 相对优越的人类能力在于对问题的专门知识和主观评价，以及战略思维、学习、模式识别和有意识地打破规则的技能(费希尔，1985年;Klau等人，2010年;施奈德曼，2010;Wierzbicki，2010年;Babbar-Sebens等人，2015年)。

计算机的相对优势在于计算或组合物理量、存储和显示详细信息以及在长时间内快速同时执行重复任务(施奈德曼，2010). 在IO中，界面或图形用户界面（GUI）允许与用户对话，既可以直观地显示结果，也可以通过鼠标事件或文本输入接收用户的首选项作为输入。解决方案生成器组件由一个优化或仿真模型（通过其决策变量、目标函数和约束来描述问题）和一个优化过程组成，该优化过程可以是一个精确的或基于启发式的算法，用于搜索优化问题的解(Collette和Siarry，2004年;Meignan等人，2015年). 一些广泛使用的元神经程序包括进化算法、模拟退火和群粒子优化。此类算法模拟自然现象，探索通向最优解的解空间。与精确方法不同，它们依赖于对解的随机探索，搜索变量组合，从而使适应度函数或目标达到最佳性能。这使得它们的实现通常更简单，但代价是需要多次迭代才能达到Pareto前沿的近似值。在精确方法（如线性规划（LP）或混合整数线性规划（MILP））的情况下，以确定性的方式探索解空间，使整个过程更有效，并确保找到（至少弱）Pareto最优解。在处理多个目标时，通常使用参数化尺度函数将多目标问题转换为多个单目标问题，从而使广泛可用的快速单目标求解器成为可能。通过改变标量化函数中的参数，可以生成初始多目标问题的一系列Pareto最优解(Branke等人，2008年;Chankong和Haimes，2008年). 优化器和GUI一起提供了一个高效、系统的框架，用于生成和表示大量与用户最相关的Pareto最优解决方案。

让人类用户参与交互式优化过程有几个引人注目的好处。首先，专家知识、直觉和经验的结合可以弥补模型不可避免的简化(Meignan等人，2015年;Piemonti等人，2017a;Liu等人，2018年). 其次，只关注解空间中最有希望的区域可以减少计算工作量(Balling等人，1999年;do Nascimento和Eades，2005年;Liu等人，2018年). 第三，交互过程促进了信任，促进了学习，并增加了用户对解决方案的信心，从而提高了他们实际实施解决方案的可能性(黄和马苏德，1979年;斯普龙克，1981年;Shin和Ravindran，1991年;Liu等人，2018年). 最后，这种方法避免了指定任何显式先验的首选项信息(黄和马苏德，1979年;Allmendinger等人，2016年)。

另一方面，信息作战方法的主要缺点是，它依赖于这样的假设：人类数据挖掘是可用的，他们愿意将时间花在解决过程中，并且他们能够理解过程、要求他们的输入以及结果(黄和马苏德，1979年;斯普龙克，1981年;Collette和Siarry，2004年;Branke等人，2008年;Liu等人，2018年). 这意味着开发的方法应该易于理解，并且能够快速生成具有代表性的Pareto最优解决方案供用户探索。

1.2. 相关工作

1.2.1. 交互式优化程序审查

在过去的几十年中，开发了各种交互式优化方法，努力改进底层搜索过程和交互机制。(角，1986年;范德普顿，1989年)提供了描述和组织IO方法的早期尝试。他们区分了基于搜索的方法和基于学习的方法，前者假设DM的偏好结构稳定且预先存在，后者则促进发现未知或难以表达的问题中的偏好。

为了审查和综合交互优化领域的技术发展，已经做了许多工作。基于搜索的方法的早期发展描述如下黄和马苏德（1979）,Collette和Siarry（2004）,Branke等人（2008年）、和Chankong和Haimes（2008）通常根据DM所需的偏好结构（例如，参考点、权重、界限、权衡量化）以及这些对生成Pareto最优解决方案的影响进行分类。最近，Meignan等人（2015）对现有方法的技术方面进行了广泛审查。他们根据以下特征对交互方法进行分类：使用的优化过程类型（精确、启发式或元启发式方法）、用户对优化过程的贡献（影响模型或过程）、，以及优化系统的特性（直接或间接的用户反馈集成）。关于优化程序，他们发现基于启发式或元启发式的方法占主导地位（32项调查研究中有25项），而精确方法占少数。对于元启发式的流行，一个可能的解释是，在交互式方法中，考虑到模型的预期误差，全局最优的近似值可能足够好。另一种观点倾向于使用精确的方法，尤其是对于包含数千个变量的大型问题。Chircop和Zammit-Magion（2013年）认为对于无约束搜索空间，随机搜索过程将需要大量的目标函数求值，从而导致计算密集型算法。相反，通过依赖尺度化技术和有效的确定性单目标方法，精确方法可以快速找到大规模多目标问题的最优解[Branke等人，2008年;威廉姆斯，2013;Schüler等人，2018年b，（第61、64页）]。这种效率至关重要，因为探索解决方案空间所需的解决方案数量随着目标数量呈指数级增长(Cohon，1978年;Copado-Méndez等人，2016年). 然而，究竟是精确方法还是启发式方法是最有效的，这一问题仍有争议，并取决于所考虑的问题。对于结构化、凸性、线性或二次规划问题，元启发式可能不会比精确的基于梯度的方法更有竞争力。另一方面，由于进化算法每次迭代都依赖于多个解，因此可以很容易地从并行处理中获益，从而实现更高的搜索效率。基于这些原因，Branke等人（2008年）第64页）建议进一步研究，以了解每种程序的各自利基，并开发利用各自优势的混合方法，从而细化他们的结论。

除了交互式优化的基本技术方面之外，人们对它提供的学习机会也越来越感兴趣。在这种情况下，Klau等人（2010年）认为促进有效的交互和学习机制比有效的算法更重要。理由是，无论产生哪种解决方案，它最终都是对现实的简化，无法直接使用。因此，用户能够正确解释和重新组织结果至关重要。因此，在过程中获得的关于权衡、协同效应和可行边界的见解最终比解决方案本身更有用。

Allmendinger等人（2016）使用术语“导航”不仅包括优化过程，还包括实时探索优化结果所做的努力。然而，在六种所谓的导航方法中Allmendinger等人（2016），四个是后部方法（即预先计算解决方案），而只有两种方法是交互式的(Korhonen和Wallenius，1988年;Miettinen等人，2010年). 他们的审查进一步表明，大多数这些方法往往只处理五个或更少的目标，而不考虑具有更多目标或高度不确定性条件的问题。他们呼吁开发新的方法，这些方法可以轻松处理具有多个目标的复杂问题，并提供更直观的GUI和交互机制。

1.2.2. 多目标交互优化接口

多目标优化结果直观可视化的需要以及与优化器的交互已被公认为一个中心问题(Xiao等人，2007年;Branke等人，2008年，第15页）。Meignan等人（2015）结论是“开发与优化系统更自然直观的交互形式对于将高级优化方法集成到决策支持工具中至关重要。”Branke等人（2008年），第52页）明确提到了用户友好性在IO中的重要性，作为未来研究的主题。这也适用于表示与问题的交互，例如DM如何输入其偏好(Miettinen和Kaario，2003年)，以及偏好本身的表示(Branke等人，2008年第201页）。Liu等人（2018）请注意，尽管交互优化“本质上是一项视觉分析任务”，但文献对视觉效果和交互方法的细节却相当沉默，重点放在优化过程和偏好模型上。

人们非常重视先进的可视化方法，以获得后部多目标优化方法，尽管它们在交互式方法中的采用率仍然很低。这一领域的努力主要是因为，虽然Pareto可以在传统的平面或三维表示中绘制三个目标，但由于要显示的数据的复杂性和所需的空间，具有多个目标（即三个以上）的问题更具挑战性。在众多可用技术中Branke等人（2008年）和Miettinen（2014），平行坐标是一种直观且可扩展的选择。由介绍Inselberg（1985）并被广泛描述为Inselberg（1997年,2009)，平行坐标与雷达图类似，只是尺寸显示为垂直并排轴，而不是径向。这使得该方法可以很好地扩展到多个维度，并有助于比较值和识别数据中的权衡、趋势和簇(Shenfield等人，2007年;Akle等人，2017年). 数据点被描述为多边形线（或多段线），它们以相应的值与轴相交。平行坐标的主要缺点包括在显示多个备选方案时图表混乱，以及无法在单个图表中可视化维度之间的所有成对关系(Heinrich和Weiskopf，2013年;Johansson和Forsell，2016年). 研究还强调用户需要接受基本培训，以更好地利用平行坐标(施奈德曼，1996;Wolf等人，2009年;Johansson和Forsell，2016年;Akle等人，2017年). 交互式数据可视化的最新发展极大地缓解了这些限制，它允许用户过滤显示的解决方案，通过拖动轴来探索特定的成对关系来重新排序轴，或者更改线条的视觉方面，例如颜色或不透明度，以显示所有维度的图案(Bostock等人，2011年;Fieldsend，2016年)。Heinrich和Weiskopf（2013）提供对平行坐标及其交互功能的最新发展的广泛审查。

几项研究研究了平行坐标在多目标优化中的实际适用性。Akle等人（2017）对比雷达图和组合表，研究了它们在平衡多个标准和选择首选解决方案方面的有效性。他们发现平行坐标是最有效、最吸引人的探索方法，与其他图表相比，它需要更少的认知负荷和压力。他们还指出，平行坐标是最不为人所知的方法，并建议培训用户可以进一步提高该方法的性能和可用性。Stump等人（2009年）也遇到了这种需求，并进行了一项研究，将从未使用过他们的工具的用户与以前有过经验的用户的理解进行了比较（Wolf等人，2009年）。他们发现，新手用户在使用哪些可视化工具或执行哪些操作方面表现出较少的确定性，并得出结论，在使用该工具之前需要进行更多的培训。他们还建议简化界面，减少转向和可视化功能，以及减少密集的备选方案，可能有助于用户关注相关信息和操作(施奈德曼，2010). 此外，有人建议，平行坐标不能显示某些类型的信息，应补充（例如，用空间表示法）以更完整地表示备选方案(Xiao等人，2007年)。Kok（1986）,Sato等人（2015）和Bandaru等人（2017b）指出，当决策者对自己的偏好只有模糊的理解时，在客观空间中指定宽松的偏好范围可能比指定确切的偏好点更容易。交互式平行坐标图中可用的“刷”操作解决了这个问题。画笔是交互式数据可视化中的常见操作，用户通常通过在感兴趣的区域上拖动指针来选择并突出显示数据子集(马丁和沃德，1995年). 平行坐标的一个限制是帕累托锋的可视化。然而，可以做出一些解释，尽管这些不同于传统的2D图，并且需要熟悉图表。Li等人（2017）提供一些关于如何将帕累托前沿的笛卡尔表示转换为平行坐标的见解。

考虑到平行坐标受到广泛关注，在多目标优化的背景下采用它们也就不足为奇了。然而，它们的使用仍然主要局限于后部预计算解决方案的探讨(Bagajewicz和Cabrera，2003年;Xiao等人，2007年;Kipouros等人，2008年;Franken，2009年;拉斐尔，2011年;罗森博格，2012年;Miettinen，2014年;Ashour和Kolarevic，2015年;Fieldsend，2016年;Akle等人，2017;Bandaru等人，2017a). 只有少数研究建议使用平行坐标来指导优化过程，但所有研究都采用了元神经方法，限制了其对变量较少的较小问题的适用性(Fleming等人，2005年;Stump等人，2009年;Sato等人，2015年;Hernández Gómez等人，2016年)。

1.2.3. 现有交互式优化方法概述

下文介绍了一些选定的方法，概述了它们对上述问题的回应以及剩余的差距。关于现有方法的更广泛概述，我们参考Branke等人（2008年）,Meignan等人（2015）,Allmendinger等人（2016）.

Pareto Race工具由开发Korhonen和Wallenius（1988）被认为是一种多目标线性规划导航方法(Allmendinger等人，2016年;Greco等人，2016年)并使用可视化交互方法实时自由地引导搜索。我们致力于使软件的使用简单直观，方便用户使用，例如，将偏好输入简化为“更快”或“更多/更少的目标”，并让程序将其转换为相应的参数（增量、期望水平、目标选择）。该工具的后期调整也允许处理非线性（即二次线性）问题，提高了生成帕累托前沿连续且具有代表性的部分的效率(Korhonen和Yu，2000年). Pareto Race中的显示由条形图组成，反映了最后计算的解决方案，用户可以从中请求下一次迭代中的或多或少的任何目标。这种简单直观的方法的主要局限性在于其潜在的迭代性质：一次只显示一个解决方案会妨碍对所有解决方案以及目标之间的关系进行清晰的概述。因此，对于具有许多目标的大型问题，用户可能无法在实际的时间内探索所有可能感兴趣的解决方案。问题越大，用户改变主意的自由度就越低(Korhonen，1996年)，这限制了此方法对大型问题的适用性。

另一种导航方法是Pareto导航(Monz等人，2008年)然而，为了在用户和工具之间实现快速响应的交互，解决方案是预先计算的，而用户可以探索它们，或者请求重新组合需要较少计算时间的现有计划。

由开发的方法Miettinen和Mäkelä（2000）据称，这是第一个在线提供的交互式优化方法。WWW-NIMBUS是一种基于分类的交互式多目标优化方法，它要求用户对目标进行分类，以确定是否需要改进、保持一致或放松。原则是，在每次迭代中，应根据用户的规范改进当前解决方案。由于该过程产生了帕累托最优解，因此有必要至少减少一个目标。虽然最初的实现在技术上仅限于相对较小的问题，但后续版本改进了优化过程和GUI。Hakanen等人（2007年）开发了IND-NIMBUS，其中包括一个新的非线性求解器，用于处理模拟移动床等大规模问题，并提供了新的可视化来比较结果，包括3D直方图和平行坐标。在A-GAMS-NIMBUS中，Laukkanen等人（2012年）结合线性和非线性求解器，以及工业过程中换热器网络综合问题的双层分解。其目标是提供解决方案的快速解决方案，每次迭代的时间范围在1到43分钟之间。

在另一项工作中，Miettinen等人（2010年）提出了一种参考点交互方法NAUTILUS，通过鼓励用户在找到最喜欢的解决方案之前不要中断搜索，解决了两种行为偏差，即损失厌恶和锚定效应。为此，呈现给用户的第一个解决方案是一个主导的解决方案，因此每次迭代并不一定意味着牺牲一个目标来支持另一个目标，就像大多数IO方法中发生的那样，在从一个非主导的解决方案转移到另一个解决方案时，必然会发生权衡。

Babbar Sebens等人（2015）开发了WRESTORE，一种交互式进化算法工具，用于搜索首选流域保护措施。该过程遵循预定的交互式“会话”顺序，在此过程中，用户会看到不同备选方案的地图和量化指标。在会话期间，用户要么探索并学习以前生成的备选方案，要么被要求用心理测量量表对新的备选方案进行评分（例如，“好”、“坏”等），或由一个自动搜索过程支持，该过程通过依赖模拟用户偏好模型的深度学习模型，使用户不必提供输入。此外，该工具是基于网络的，旨在让多个用户探索备选方案并共同指导搜索。备选方案的可视化基本上是通过在带有彩色图层和图标的地图上显示决策变量，并通过直方图提供定量性能指标来完成的。作者总结了代理模型在减少计算时间导致的延迟方面的相关性。在他们的研究中，他们使用当前的流域模型报告了每个溶液大约10分钟的持续时间，以及跨越数小时或数天的总实验持续时间。后续工作来自Piemonti等人（2017b）作者研究了该工具的可用性，并确定了三个主要改进点：（i）应尽量减少用于获取偏好的时间，以避免用户疲劳；（ii）界面应便于访问和比较感兴趣领域的详细信息；（iii）在过程结束时，应重述用户的累积发现。

Stump等人（2009年）提出了一个贸易空间可视化（ATSV）工具，旨在帮助设计师探索设计空间，寻找首选解决方案。这是对预先计算的贸易空间的后验探索的改编(Balling等人，2000年)首先创造了“购物设计”。这个功能丰富的工具提出了各种多维可视化（散点图、平行坐标、3D字形图），以探索贸易空间并引导寻找新的解决方案。可视化工具通过进化算法与仿真模型耦合，搜索受用户输入（包括参考点或偏好范围）的影响。该工具提供了对设计空间的非常灵活的探索，包括不可行和占主导地位的解决方案。虽然这允许进行更详尽的探索，但这必须以额外的计算时间为代价，因此该方法仅限于计算成本低廉的仿真模型，或依赖中间计算阶段，中间计算阶段依赖低维替代模型来缩小设计空间，然后再开始更密集的计算。

1.3。研究差距和目标

现有文献中出现了各种交互方法的偏好类型、过程和接口。然而，尽管早期在开发有效的基于搜索的程序方面做出了努力，并且最近在开发支持用户学习的工具方面做出了一些努力，但“面向应用”方法的进展仍然缓慢，这些方法成功地被学术界以外的人采用，并用于解决实际的大规模问题(加德纳和范德普顿，1997年;Allmendinger等人，2016年). 四个相互关联的要求（在现有方法中仅部分实现）可以解释这一差距（图2):

•首先，方法必须有能力处理许多目标，并产生许多有效的替代方案，以反映现实世界问题的复杂性。肖等人（2007），第235页）指出，大多数交互式方法仍然依赖于数量相对有限的解决方案，可能忽略了重要的帕累托最优解决方案，而Allmendinger等人（2016）发现它们通常涉及的目标数量有限，很少超过五个。有效或帕累托最优的概念也很重要，因为其目标是将决策者的注意力集中在最具竞争力的解决方案上，避免将时间浪费在不太有趣的方案上(Balling等人，2000年)。

•上述要求导致需要能够克服相关计算负担的方法。及时交付结果对于减少用户的延迟时间至关重要，否则用户的参与意愿可能会受到影响(Collette和Siarry，2004年;Branke等人，2008年;Miettinen等人，2010年). 这不仅需要快速计算单个解决方案，还需要有效地提供帕累托最优前沿的代表性概述。到目前为止，似乎计算速度的潜在权衡是要么只解决计算成本低的问题（要么依赖低维近似）(Stump等人，2009年)或面临更长的计算时间，可能会中断搜索和学习体验(Babbar-Sebens等人，2015年)。

•多目标优化结果的可视化方法同样重要，已由Packham等人（2005）,Miettinen（2014）、和Fieldsend（2016年），阐明可用选项的优点和局限性（散点图矩阵、蜘蛛图、切尔诺夫面、字形…）。其中，平行坐标日益成为最有效的方法之一。它们以直观的表示方式而闻名(Packham等人，2005年;Akle等人，2017年)，以及每个标准占用最少的空间，使它们可以高度扩展到许多标准(Fleming等人，2005年). 尽管有这些优点，与其他可视化一样，平行坐标在显示许多解决方案时也缺乏可读性，并且很难在单个图表中查看所有成对关系。交互式可视化方法的发展，如数据驱动文档（D3）库，通过过滤解决方案和重新排列轴，部分解决了这些问题(Bostock等人，2011年;Heinrich和Weiskopf，2013年). While期间Inselberg（1997）最近的研究更密切地考虑了帕累托最优解的解释，为如何有效解释平行坐标中的关系提供了有价值的指导(Li等人，2017年;Unal等人，2017年). 此外，量化标准的显示可能并不总是足以做出明智的决策，并用例如地图等传统的结果显示方式加以增强(Xiao等人，2007年)，物理几何图形的描述(Stump等人，2009年)，决策变量的值(加德纳和范德普顿，1997年)或定性标准(Cohon，1978年)建议。

•最后，需要一个简单直观的界面来满足上述要求。用户必须不仅能够轻松理解结果，而且能够以最小的努力指导过程。然而，复杂术语的使用和困难的输入仍然被认为是阻碍在实践中更广泛采用互动方法的障碍(科恩，1978年;Wolf等人，2009年;Akle等人，2017年)。Meignan等人（2015）,Allmendinger等人（2016）、和Branke等人（2008年）第52页），所有人在结束他们的审查时都呼吁改进用户友好界面和方法的开发。

虽然上述方法解决了其中一个或多个要求，但没有一种方法同时解决所有这些要求。因此，本文的目标是（i）介绍一种新的交互式优化方法，以满足图中的要求2以及（ii）证明其对大型问题的适用性。用于第二个目标的案例研究依赖于下面描述的多参数混合整数线性规划方法Schüler等人（2018b）适用于城市规划背景。

2.SAGESSE方法的描述

SAGESSE–用于系统分析、生成、探索、指导和综合经验–是一种交互式优化方法，旨在满足图中总结的要求2它不同于交互式优化中发现的大多数传统顺序或交替范式，如生成，探索和驾驶融合在一起，形成一个单一的、连续的、交互式的搜索过程，能够处理大问题（图三). 这可以通过结合三个主要特征来实现（图2)：（i）基于网络的平行坐标，作为同时探索多个维度并指导潜在替代生成过程的手段，（ii）确定性优化方法与准随机“Sobol”抽样方法相结合，以有效捕获大型解空间，以及（iii）事后分析技术（即多属性决策分析和聚类分析）的实际应用，以及将视图链接到解决方案的各种表示形式以支持决策。在交互式搜索之前分析阶段由用户和分析员执行，将实际问题的组成部分转换为优化模型（决策变量、目标、约束）。在交互式搜索之后，该方法提供了一种合成通过提取最优选解决方案和关键标准的子集而获得的知识。总的来说，SAGESSE包括经验：与事实的实际接触，给用户留下深刻印象(牛津，2018). 这意味着用户不仅可以获得模型建议的最终解决方案，还可以获得为什么某些解决方案比他们更可取的知识和信心。如所述法语（1984），“一个好的决策辅助工具不仅应该帮助决策者探索问题，还应该帮助决策人探索自己。”系统的方法的本质，用优化模型和严格的抽样技术探索解空间，减少了错过更好的替代方案的机会。

2.1、。工作流概述

图4描述了该方法的一般工作流程，包括六个主要步骤。虽然原则上步骤1至5都是同时发生的（即生成、探索和指导任务同时发生），但其方法论方面将在下文中依次解释。

2.2. 启动项目

访问界面时，用户可以启动新项目，也可以重新加载现有项目。对于新项目，默认情况下会显示一个带有预选条件的空平行坐标图。从空图表开始的一个优点是，它可以降低锚定偏差的风险，这可能会导致用户过早地专注于可能不相关的开始解决方案，而代价是探索更广泛的解决方案(Miettinen等人，2010年;Meignan等人，2015年). 图5显示了GUI的主要组件，即平行坐标图，以及用户可以从中执行和控制SAGESSE主要操作的选项卡。

2.3. 指导搜索

用户可以通过两种方式影响搜索：通过提供影响优化模型或优化过程的输入（图4，步骤1）。所有用户输入都存储在数据库中，生成器组件可以在其中访问它们以进行进一步处理。这些输入以及各种视觉辅助设备构成了可用的转向功能，如下所述，并在表中进行了总结1.

第2.3.1条。优化模型输入

用户直接在用于显示解决方案的平行坐标图上指定其首选项。这是通过刷取要优化或约束的轴来完成的(马丁和沃德，1995年)。

步骤1中执行了三个相关的转向操作，将描述轴及其在步骤3和4中的优化程序中的作用（图4)。

•第一步是定义主要客观的在第2.5节中描述的ϵ-约束（ε-约束）公式中。对于任何要制定的新问题，都只规定了一个目标。这是通过用“物镜”刷（紫色）刷轴来完成的。对于此操作，笔刷边界的数值无关紧要。

•第二个动作是将一个或多个轴标记为单个约束以便它们至少（或最多）达到指定的值。此操作使用红色画笔，画笔的上限或下限定义要实现的值，具体取决于标准的首选方向（请参见下文）。

•第三个动作允许系统地改变刷过边界内参数化约束的值范围（蓝色）。这些参数化约束的数值由所选采样方法（参见第2.5节）根据所需的解决方案数量自动确定。虽然指定单个约束表示一种“满足”（满足+满足）行为，但如果用户确信在实现比指定值更好的值方面没有实际收益，则可能会出现这种行为(Branke等人，2008年第8页），指定范围允许优化多个目标（参见第2.5节）。

最后，对于标记为上述任一动作的任何标准，可以指定其首选方向。例如，成本标准的偏好将是“较少”，表示该标准越少越好。受益标准将是“多”，因为多胜于少。实际上，“少”会导致最小化作为目标的标准上面的条件的约束被刷成范围或约束。相反，“更多”会导致最大化目标，以及降低范围或约束的约束。通常，默认首选项是已知的，并且在每个标准的分析阶段已经包括在内，但是用户可以在搜索阶段编辑它们，例如，测试极端情况。

2.3.2条。优化程序输入

关于优化过程的第一类输入是求解器的停止标准，即求解时间限制和最优间隙限制。最优性差距是确定性全局优化特有的一个有用特性，它允许产生“与最优值相差不超过规定数量”的解决方案(劳勒和伍德，1966年). 因此，用户可以决定先验的如果他们愿意接受与理论最优值相差不超过5%的解决方案，以换取减少的计算时间。设置较宽松的限制，即较低的时间或较大的优化间隙限制，会导致解算器提前返回解，但可能距离全局最优解更远。虽然第一种方法总是可取的，但在最佳解决方案的近似值可能足够的情况下，后者可能是可以接受的。然而，重要的是不要将这些限制设置得过于宽松，因为距离最佳值太远的解决方案可能会导致错误的解释。还值得强调的是，由于计算是在用户探索现有解决方案时连续进行的，因此最多两分钟的“等待时间”似乎是可以接受的。事实上，考虑到用户很可能正忙于解释已经计算好的备选方案，以满足许多可用标准，因此它们很可能不会完全闲置。

第二个输入是在规定范围内采用的采样方法，以及要采样的相关数量的溶液（见第2.5节）。第三个输入包括所需的问题范围或边界。例如，在城市规划中，可以增加或减少问题中要考虑的周长。

虽然原则上这些输入也可以直接通过平行坐标进行，但它们在这里通过按钮、表格和下拉菜单进行指定。除问题边界外，应注意，这些输入通常由分析员预先定义，不需要用户的特别理解。它们主要面向更有经验的用户和建模者。

2.3.3. 转向助力

考虑到可以在平行坐标图的轴上显示的不同类型的内容，它们的类型和允许的转向动作必须清晰直观地传达给用户。为此，使用了彩色画笔、不同的轴样式和文本工具提示。轴可以显示两种主要类型的信息：

i.方法特定信息以虚线样式显示在轴上（图5). 它们包含与优化过程相关的元数据（例如，迭代次数、解算器实现的最优差距），或用户在探索步骤中要求的元数据（如聚类结果或聚合分数，请参阅第2.7节）。

ii、。优化模型生成的特定于上下文的信息以实线样式显示在轴上（图5). 因此，它们可以表示目标函数、约束、决策变量、模型参数或后计算标准（即，在确定所有决策变量后计算）。表示为决策变量的非线性组合的函数通常不能用线性求解器进行优化，并且根据各自的公式，也不能受到约束。因此，它们仅限于后计算。包含线性函数、模型参数或决策变量的轴也可以作为单个等式约束来绘制，以确定其值，作为约束系统变化的范围，或作为目标。为了在转向过程中指导用户，经过调整的鼠标指针会通知用户是否允许在任何悬停轴上进行操作。此外，工具提示简要解释了任何禁止的行为，以及如果可能，如何继续实现等效结果（例如，通过指定标准的范围，其潜在目标函数意味着决策变量的非线性组合，但可以转换为线性约束）。

帮助用户转向的另一个功能是突出显示在优化问题中发挥积极作用的轴（图5). 此信息特定于每个解决方案，因为轴的作用不是唯一的，可以随着搜索的进展而更改。因此，当鼠标悬停在多段线上时，在生成该解决方案时用作目标、范围或约束的轴将临时使用相应的颜色（紫色、蓝色和红色）着色。例如，这有助于用户确定可能进一步改进的标准，因为到目前为止，这些标准只是事后计算的，而那些可以放宽以改进其他标准。

2.4. 存储数据

关系数据库用于存储用户在界面中提供的数据（例如项目详细信息、原始指导偏好）和解决方案生成器引擎生成的数据（如问题公式、解决方案结果和相关元数据）。为本方法开发的交互式优化数据模型描述如下Schüler等人（2018a）.

2.5. 制定问题

一旦用户指定了所需的优化标准（即在步骤1中使用目标和范围画笔），目标是解决以下通用多目标优化问题，假设所有最小化目标都不失通用性(Collette和Siarry，2004年):

其中向量（f）(x个) ∈ ℝ^k个包含k个目标函数最小化，克(x个) ∈ ℝ^q个是不等式约束，小时(x个) ∈ ℝ^第页是等式约束，以及x个∈ ℝ^d日是d日可行域中的决策变量S公司⊂ ℝ^d日，其值将由优化过程确定。

原则上，这个问题可以用确定性或启发式方法解决（参见第1.1节）。然而，为了受益于广泛可用的高效优化算法，如单纯形算法或分枝定界算法(劳勒和伍德，1966年)这里选择了确定性方法。为了确定性地解决问题，应用标量化函数将方程（1）中的多目标优化问题转化为N个参数化单目标优化问题，每个问题都将返回原始多目标问题的Pareto最优解(Branke等人，2008年). 通过改变标量化函数的参数，可以从Pareto前沿产生不同的解。总之，要在帕累托前沿生成点，需要的是（i）适当的标量化函数，以及（ii）改变参数的系统方法(Laumanns等人，2006年). 接下来将讨论交互优化环境中这两个方面的要求。

2.5.1。采用的标量化函数

在交互方法的上下文中，标量化函数有三个关键要求(Branke等人，2008年)：（i）他们必须具备生成整个Pareto前沿的能力，同时（ii）依靠准确反映用户偏好的直观输入信息，以及（iii）能够快速提供Pareto前端不同区域的概览。两种最常见、最直观的尺度化技术是加权和（WSM）和ϵ约束方法(Mavrotas，2009年;Oberdieck和Pistikopoulos，2016年). 虽然两者都能够生成Pareto最优解决方案，但WSM只能部分满足上述要求。在WSM中，创建了一个新的唯一目标函数，它由所有原始目标函数的加权和组成k个目标函数(Collette和Siarry，2004年第45页）：

哪里${\displaystyle \underset{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\overset{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}{<trans\; data-src="\sum ">\sum </trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}$;n个= 1, …,N个、和N个是权重参数的组合数w个_{n、 我}导致帕累托最优解决方案。WSM的第一个限制是，如果Pareto前沿是非凸的，则标量函数无法在该区域生成解(Branke等人，2008年;Mavrotas，2009年;Wierzbicki，2010年). 其次，WSM偏向于极端解决方案，而不是目标之间的更平衡(Branke等人，2008年;Wierzbicki，2010年). 将权重指定为输入可能会对目标产生其他违反直觉且容易出错的后果，因此用于控制搜索更令人沮丧(Cohon，1978年;Larichev等人，1987年;Tanner，1991年;Laumanns等人，2006年;Branke等人，2008年;Wierzbicki，2010年). 例如，Wierzbicki（2010年（第45页）说明了在一个三目标问题中，每个目标的权重相等，即0.33，在这个问题中，强烈增加第一个目标，略微增加第二个目标，并允许减少第三个目标的尝试将不会相应地反映在权重的变化中。实际上，在所建议的示例中，将每个目标的权重分别修改为0.55、0.35和0.1实际上只会导致第一个目标的增加，而其他两个目标的权重都会减少。目标数量越大，预计会出现的此类问题就越多，因此用户更难确定准确反映其偏好的权重。最后，加权和还需要对不可通约标准进行某种形式的归一化，以达到可比较的幅度，这也会影响结果，并可能需要用户指定上限和下限先验的(马夫罗塔斯，2009年)。

在ϵ-约束方法中，由Haimes等人（1971），而不是优化所有k个同时，只优化一个目标，而将其他目标转换为参数化不等式约束：

哪里我∈ 1, ...,k个;n个= 1, …N个、和N个是在Pareto前沿计算的总点数，其中ϵ_{n、 j个}是表示辅助目标上限的参数j个≠我.在原来的方法中，N个_j个在感兴趣的范围内确定每个目标的唯一上限$<trans\; data-src="[">[</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="]">]</trans>$，通过递增${\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}$按固定值$\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">-</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}{{\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}$最小和最大界限可以基于DM的专业知识，也可以通过分别最小化和最大化每个目标来计算。每个唯一的ϵ组合都可以解决这个问题_{n、 j个}，即总共N个组合，其中$\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="\prod ">\prod </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="j">j个</trans>}}$(Chankong和Haimes，2008年第285页）（图6A级)。

从概念上讲，ϵ-约束方法可以理解为目标空间中虚拟网格的规格说明，并为每个N个栅格点(Laumanns等人，2006年). 与加权求和法相比，ϵ-约束法的主要优点是：（i）它可以处理凸的和非凸的Pareto前沿（避免了评估解空间的凸性的需要），（ii）与设置权重相比，边界的指定是一个更直观、误导性更小的概念(科恩，1978年;Kok，1986年;Wierzbicki，2010年)以及（iii）约束的变化导致了一组更丰富、更少冗余的解决方案(Branke等人，2008年;Mavrotas，2009年). 基于这些原因，在当前的交互式优化方法中采用了ϵ-约束。

除此之外，方程（3）中原有的ϵ-约束方法可以重新表述为多参数优化问题(Pistikopoulos等人，2007年)，其中不仅上界ϵ_{n、 j个}的辅助目标是不同的，但也有任何其他模型参数θ_t吨在向量中θ∈ ℝ^米因此，假设在不损失通用性的情况下，所有最小化函数n个要解决的问题可以写成：

哪里n个= 1, …N个、和N个是在Pareto前沿计算的总点数。为了简单起见，所有参数都将根据采样方案变化（无论它们是否引用函数（f）_j个或模型参数θ_t吨)被称为ϵ_{n、 第页}，其中第页= 1, …,P（P）以及其中，根据定义，P（P）=k个− 1 +单位是各种参数的总数。因此，让我们E类是方程（4）中所有采样参数的矩阵，其中每行包含n个从客户端发送到优化过程的第个问题：

根据用户执行的转向操作和第2.3.1节中的定义客观的这里对应于（f）_我在方程（4）中，而刷式范围对应于感兴趣范围的下限和上限$<trans\; data-src="[">[</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="]">]</trans>$在方程（5）中。值得注意的是，对于以下特定情况（f）_j个(x个,θ)=x个_d日用户还可以直接控制和改变单个决策变量。最后，单个约束不需要采样，因此可以单独处理：当在表示函数的轴上绘制时，单个参数固定为笔刷的上限值（或最大化函数的笔刷的下限值）。此外，由于从建模角度来看，参数不具有任何“首选方向”，如果使用单个约束笔刷来固定其值，默认情况下会考虑笔刷的下限。

尽管ϵ-约束方法具有优势，Chankong和Haimes（2008年第285页）指出，当扰动ϵ_{n、 第页}上述增量方式的边界。因此，特别是当涉及多个维度时，使用ϵ-约束方法生成的解决方案可能非常耗时，并且在过早中断时，在整个目标空间中可能不均匀，导致帕累托前沿的表现不佳(Collette和Siarry，2004年;Chankong和Haimes，2008年;Copado-Méndez等人，2016年). 这种效率的缺乏在交互式方法中尤其成问题，因为应该尽快向用户提供帕累托最优解决方案的概述，以便了解哪些领域会导致首选替代方案。使用取样技术促进和改进ϵ的测定_{n、 第页}接下来讨论方程式（4）中的。

2.5.2. 采用的取样方法

一些研究已经研究了改进ϵ-约束方法中参数确定的方法。例如，Chircop和Zammit-Magion（2013年）提出了一种新颖的算法，用ϵ-约束方法更有效、更均匀地探索二维问题，避免了稀疏的Pareto前沿。然而，他们的程序仅限于双目标问题。还研究了使用各种采样技术作为有效探索具有最少点数的空间的方法。Burhenne等人（2011年）比较了各种采样技术，发现Sobol序列(索波尔，1967年)导致对参数空间的更有效和稳健的探索，因此当由于时间或计算限制而必须限制样本量时，建议使用该方法。Sobol序列是一种准随机抽样技术，旨在在单位超立方体中尽可能均匀地逐步生成点（图6亿) (Burhenne等人，2011年). 与当前方法密切相关，Copado-Méndez等人（2016）测试了伪随机序列和准随机序列的使用，使ϵ约束方法能够更有效地处理许多目标。与标准约束方法和其他随机序列相比，他们使用Sobol序列和目标约简技术的组合获得了更好的质量和更快的Pareto最优解表示。弗兰肯（2009）还使用Sobol序列方法探索并行坐标系下粒子群优化的有希望的输入参数。然而，在交互式优化中采用准随机序列以获得实时效益的做法尚未尝试。这种方法——而不是通常在ε-约束方法中采用的常规系统采样——在处理交互式方法时尤其重要，因为当用户的时间有限时，探索解决方案的顺序至关重要。此外，Sobol序列极大地减轻了用户的负担，用户只需指定大致偏好或兴趣的宽松范围，并且序列会自动在解空间的下一个最有效位置确定约束。

在SAGESSE中，准随机Sobol抽样方法(索波尔，1967年)因此，可以采用并选择改变方程（5）中的参数，以确保用最少的解快速有效地探索整个空间（图6亿)。

使用Sobol采样方法，用户指定了许多解决方案N个，以及中的相应参数E类计算如下：

哪里秒_{n、 第页}是矩阵中的元素S公司_{N个×P（P）}，其行包含Sobol序列N个中的坐标P（P）-维单位超立方体。已经开发并实现了各种基于计算机的Sobol序列生成器，用于计算S公司_{N个×P（P）}这里，一个基于布拉特利和福克斯（1988）使用，允许生成包含多达40个维度的序列(2018年诺特101). 其他生成器可以增加这个数字，例如，允许最多1111个维度的序列(Joe和Kuo，2003年). 如图所示，使用Sobol方法采样的数值N个=5分和P（P）=中提供了范围[0，1]中的3个参数E类^呜咽，方程式（7）。这种范围的选择进一步表明，在本例中，参数的坐标实际上与单位超立方体中的Sobol序列的坐标相同：

或者，也可以使用标准系统采样方法(吉尔伯特，1987年)在某些情况下，这可能比Sobol采样方法更可取。通过系统采样，通过将采样的维度划分为规则的间隔来系统地探索空间。这种采样方法的一个重要缺点是，如果采样的解决方案空间包含“不确定的周期性”，它可能会导致误导或有偏见的见解(吉尔伯特，1987年). 此外，由于它在整个解决方案空间中的进展较慢，因此不太方便进行实时优化（图6A级). 然而，与Sobol方法相比，这种采样技术可以为用户提供更多的控制。例如，它可以通过系统地组合不同轴上的特定值，对方程（4）中的参数进行系统敏感性分析。与Sobol序列不同，在这种方法中，采样点的总数隐含地由以下公式给出$\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="\prod ">\prod </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="P">P（P）</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}$，其中N个_第页是感兴趣范围内请求的点数$<trans\; data-src="[">[</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="]">]</trans>$每个维度的。

因此，每个维度都包含N个_第页要采样的唯一值，计算如下：

哪里$\mathrm{<trans\; data-src="\Delta ">\Delta </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>\frac{{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">-</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="ϵ">ϵ</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}}{{\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}$是每个ϵ之间的增量_n′，p.对应矩阵E类^系统然后，通过按以下顺序组合所有参数值来填充系统采样结果：

例如，对于在[0，1]和之间进行系统抽样的三维N个₁= 3,N个₂= 2,N个_三=2，得到的各种参数的矩阵为：

2.6. 生成解决方案

在这一步中，求解了基于方程（4）的单目标优化问题。特别是，求解器从客户端接收要优化的主要目标以及中包含的所有指定参数的值E类_{N个×P（P）}。只要用户没有在平行坐标图上指定新目标，生成过程就会继续在当前范围内添加解决方案，并将以下行作为输入E类_{N个×P（P）}一个接一个。一旦目标发生变化，解算器就会中断当前采样序列，并从新提供的目标和E类_{N个×P（P）}.

2.7. 探索解决方案

探索的目的是让用户了解解决方案之间的权衡和协同作用，并培养他们对什么是合格的解决方案的信心。界面应提供积极直观的体验，尊重信息寻求的口头禅“概述、筛选、按需详细信息”(施奈德曼，1996). 平行坐标为这个咒语提供了基础(Heinrich和Weiskopf，2013年)，让用户对竞争目标中可实现的价值产生感觉，并了解阻碍目标实现的原因。表中总结了支持探索的可用功能2以及下文所述，根据其主要目的（即概述、筛选或详细信息）进行组织。

2.7.1。标准之间关系概述

平行坐标显示了作为交叉线的两个轴之间的权衡（或负相关性），以及非交叉线的协同效应（或正相关性）(Inselberg，1997年;Li等人，2017年). 由于图表只能显示相邻轴对的此类模式，因此有两种方法可用于探索更多关系。首先，图表的实现（它依赖于数据驱动文档（D3）库Bostock等人，2011年;Chang，2012年)允许在不同位置动态拖放轴，从而可以根据需要快速调查特定对。其次，可以使用多段线的不同视觉编码来强调数据的各个方面(克利夫兰和麦吉尔，1985年). 除了沿每个轴的垂直位置外，还可以将颜色、宽度、线条样式、透明度、动画等属性映射到多段线，以反映标准的值。这里，颜色和宽度用于显示所映射的标准与所有其他轴之间的关系。例如，这允许突出显示高性能（分别是低性能）解决方案，以及任意给定轴上的解决方案集群。可用的着色选项包括线性双色或多色渐变（每个颜色阴影表示增加的值）、Z分数渐变（表示与平均值的偏差）和分类（为每个值指定唯一的颜色）。线宽特性可以指定给其他条件，以便具有高值的高多段线比具有低值的多段线更厚。另一种提高可读性并识别模式和簇的方法是使用曲线而不是线。用户可以调整多段线曲率的强度，以平衡相关性的可读性（直线可读性最好），以及重叠直线和簇的可读性(Heinrich和Weiskopf，2013年)。

2.7.2. 过滤解决方案和标准

用户可以通过“刷取”所需的轴来过滤多段线以仅显示感兴趣的多段线(Heinrich和Weiskopf，2013年;Bandaru等人，2017b). 仅显示满足不同轴上所需值的解决方案的功能是对混乱问题的常见响应，当出现太多直线时，这会导致平行坐标变得不可读(Johansson和Forsell，2016年;Li等人，2017年). 有多种刷牙选项(Heinrich和Weiskopf，2013年)，包括一个普通的一维画笔（定义轴上的上下边界）、多个一维画笔（选择轴上的几个不同部分）、一个根据两个轴之间的斜率（即相关性）过滤解的角度画笔，或二维画笔，允许根据两个轴之间的路径选择解决方案。可以为多段线的拉丝子集计算其他信息，例如聚类或多属性决策分析。与画笔相关的是用指针悬停折线的动作，它在图表中突出显示折线，并显示其他信息（例如，不同可见轴的精确数值、当前未显示在轴上的信息，或关于如何生成折线的信息，请参阅第2.3.3节）。悬停也是访问链接视图中信息的一种方式，例如解决方案的图形表示。

过滤显示信息的另一种方法涉及表示标准的可见轴。而平行坐标可以很好地缩放到大量标准(Inselberg，2009年)实际上，建议同时使用最多“七个加减两个”轴来解释用户的认知能力(米勒，1956年)。法语（1984）认为在多准则决策分析的情况下，这个数字可能已经太大了，无法同时考虑。由于决策过程中标准的相对重要性不一定事先知道，并且可能会随着新知识的发现而改变，因此用户必须能够实时访问和取消轴。为此，下拉菜单允许键入或滚动其他条件，并轻松忽略当前可见的条件。这样就可以实时生成新的图表，以反映给定点用户最相关的信息。根据作者的经验，逐步包含标准的行为有助于考虑甚至超过七个轴，因为复杂性是以结构化的方式逐渐建立起来的。

2.7.3. 使用聚类筛选代表性解决方案

使用聚类技术是一种常用的方法，可以帮助从大型Pareto最优集中选择解决方案(Aguirre和Taboada，2011年;Zio和Bazzo，2012年;Chaudhari等人，2013年). 聚类旨在将具有相似特征的对象分组为不同的分区或簇。实际上，一种算法寻求的配置是“同一集群的对象应该彼此接近或相关，而不同集群的对象则应该相距很远或非常不同”(考夫曼和卢梭，2009年). 这里采用了一种流行的k-medoid技术，称为围绕medoid的划分（PAM）(考夫曼和卢梭，2009年第68页）。不同于计算k个虚拟聚类质心，k-medoids直接从现有数据集中确定最具代表性的解决方案(Park和Jun，2009年). 虽然这会增加计算工作量，但会降低其对异常值的敏感性。此外，在交互式优化决策支持的情况下，额外的计算工作是合理的，因为它可以将用户的注意力集中在现有的代表性解决方案，而不是实际上可能不可行的虚拟点。k-means和k-medoids的另一个主要限制是需要预先输入大量的簇(Aguirre和Taboada，2011年). 虽然可以使用各种质量指数来评估集群的质量(Goy等人，2017年)，平行坐标和3D散点图中图形显示的直接反馈使用户可以轻松探索各种输入对最终簇的影响(考夫曼和卢梭，2009年第37页）。输入包括集群数量k个（由用户在GUI中指定）以及每次执行时算法从解集中随机选择的初始种子类体。

2.7.4. 用多属性决策分析得分筛选解决方案

当跨多个维度比较多个解决方案时，要区分哪一个总体上最突出，可能会变得势不可挡。心理学研究强调，人类决策者在平衡多个相互冲突的标准方面的能力有限，即使是在数量有限的备选标准之间也是如此(法语，1984;Larichev等人，1987年;Jaszkiewicz和Słowiński，1999年). 这里提出了一种聚合多属性决策分析（MADA）方法，通过揭示每个备选方案相对于其他方案的最佳等级或得分来促进这项任务(Cajot等人，2017a). 每个解决方案都被赋予一个分数，该分数在平行坐标中显示为附加轴，并用作附加的决策标准。

正如引言中指出的那样(黄和马苏德，1979年)，多目标决策分析（MODA）方法是为一代而MADA的优势在于评估和比较预先确定的备选方案。可以采用许多方法，并且有大量文献比较了这些方法的相似性、优点和缺点(Zanakis等人，1998年;Cajot等人，2017a). 大多数MADA方法通常隐含的假设是，这些标准可以相互补偿。虽然交互式多目标优化和平行坐标的组合优势在于避免需要聚合不同的不可通约标准，但为用户提供简化的聚合度量可以为理解数据提供有用和可靠的支持。所得分数并不是为了取代DM的决定，而是为了将他们的注意力集中在有限数量的备选方案上，并激发问题和学习（例如，发现排名靠前或靠后的备选方案的特点）。如中所述Cajot等人（2017a），应用MADA作为一种方法来支持使用MODA生成的预计算非支配集的决策是相当常见的（例如。，Aydin等人，2014年;Ribau等人，2015年;Fonseca等人，2016年;Carli等人，2017年). 然而，这些应用程序通常是后验的。在这里，来自MADA分数的反馈提供了直接的见解，用户可以使用它来指导使用MODA的搜索。

为了避免给用户带来更多的方法学负担，采用了与理想解相似的偏好顺序技术（TOPSIS）方法，因为该方法具有最直观和可理解的原则，对输入的需求有限，并且能够处理许多标准和解决方案(Zanakis等人，1998年;Cajot等人，2017a). 该方法根据其与理想溶液的接近程度对每个备选方案进行排序，理想溶液在每个标准中呈现最佳值，并分别根据其与负理想溶液的距离进行排序，负理想溶液呈现所有最差值(Hwang和Yoon，1981年). TOPSIS提供的最终分数是0到1之间的相对接近度，分数越高，表示与正理想解的接近度越高。

TOPSIS方法必须特别考虑两个方法学方面，即数据的规范化和理想解决方案的选择。

首先，为了说明标准中的不同尺度，必须对数值进行标准化，以实现可比性(考夫曼和卢梭，2009年). 这里实现了两种线性尺度规范化方法来处理各种情况：“max”和“max-min”变量(Chakraborty和Yeh，2009年). 使用“max”变量获得的标准化值如下${\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src="/">/</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}{<trans\; data-src="max">最大</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans>$。该方法由García-Cascales和Lamata（2012），因为它减少了排名反转的后果。然而，在不同标准之间的值分布不一致的情况下，这种规范化往往会忽略具有更紧凑值的标准的重要性。如果标准对此类微小变化敏感，则应在TOPSIS得分中说明这些变化。因此，为了避免这种偏差，“max-min”变量将所有值分布在0和1之间，不仅提供了标准之间的可比量级，还提供了可比价差(Chakraborty和Yeh，2009年). 使用此变量，标准化值计算如下${\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src="-">-</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}{<trans\; data-src="min">最小值</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="/">/</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}{<trans\; data-src="max">最大</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">-</trans>\underset{\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}}{<trans\; data-src="min">最小值</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{\text{<trans data-src="ij">ij公司</trans>}}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>$。以对秩反转更敏感为代价，该方法更准确地解释了利差较小的标准。

关于理想解的选择，而原始的TOPSIS方法计算它们相当地根据研究数据，García-Cascales和Lamata（2012）提议采纳绝对的正理想点和负理想点，由用户或上下文特定规则定义。这里，首选相对方法，以避免向用户询问更多信息，尤其是因为可能有大量的标准。然而，他们可以选择将该方法应用于所有计算的解决方案，或仅应用于子集，例如仅比较比较仪表板中选择的解决方案（参见第2.8节）。如果用户希望从不受等级反转影响的更可靠和一致的MADA结果中获益，他们可以手动为每个标准提供合理的上下限，并使用这些绝对值。如所述Wierzbicki（2010年，第51页），没有基本理由将此类分析限制在排名的备选方案上，使用更多信息（如已知的绝对值或历史数据）或更少信息（如仅通过非支配解决方案限制理想的定义）可能会影响评级的严格性。他们还可以为标准赋予更高的权重，以更好地反映他们的主观偏好，尽管为了减少输入需求，默认情况下假设权重相等。如图所示9TOPSIS方法提供的分数很容易揭示出性能最佳的解决方案，即在最大化标准中具有较高的值，而在最小化标准中具有较低的值。

2.7.5. 按需详细信息：将视图链接到平行坐标

在某些情况下，平行坐标的内容和格式不足以或不适合传递某些类型的信息。肖等人（2007）特别强调需要用地图补充平行坐标可视化，而(Stump等人，2009年)建议显示生成设计的物理几何图形，而不仅仅是设计变量和性能指标。此外，Cohon（1978）注意到，定性概念（如美学）的交流对于分析员来说可能很难处理，尽管这对决策者来说是可取的。与此密切相关的是，当被要求时，也要传达决策变量的重要性，因为在某些情况下，仅凭目标和标准可能无法提供决策所需的所有信息(加德纳和范德普顿，1997年第296页，shenfield2007）。

为了解决这些差距，实现了两个功能。第一种方法允许在交互式2D散点图矩阵和3D散点图中可视化所有（或子集）解决方案(2015年平面图技术). 虽然这些仅限于有限数量的维度，但与平行坐标相比，它们提供了更直接、更熟悉的距离解释。第二个允许访问有关单个解决方案的其他信息。为此，折线可以单击，以允许用户访问与解决方案相关的其他类型的信息。单击后，会在图表下方打开一个可视化面板，其中可以显示任何其他信息，如图像、图表、地图、精确数值等。两个视图都是链接的，因此当光标悬停在面板中的信息上时，相应的多段线会高亮显示。与轴一样，仪表板提供了可重新排序的容器，以允许在图形表示之间进行并排比较。

在第3节中介绍的城市规划案例研究中，单击折线会触发地理地图的生成，从而用空间和形态信息补充平行坐标图，还提供了对解决方案的决策变量（位置、大小和建筑类型、能源技术等）的更详细的了解。

2.8. 综合搜索

有效传达方法中关键分析信息以补充决策者直觉和情感思维过程的能力对影响决策过程至关重要。研究执行人Trutnevyte等人（2011年）例如，在阐述市政能源愿景时，将分析方法和直觉方法相结合，会导致利益相关者修改其最初的偏好和价值观，并做出更高质量的决策。然而，选择平行坐标可能不是交流从搜索中获得的分析见解的最有效方式，尤其是向没有积极参与搜索的利益相关者或决策者。的确，Wolf等人（2009）注意到新手用户可能会感到不知所措，或者不太可能在平行坐标系中利用大量解决方案。Piemonti等人（2017b）进一步强调了总结交互式优化方法中最优选的备选方案的附加值，以简化选择过程，同时加德纳和范德普顿（1997）提出了综合所获得解决方案的特征以促进与他人沟通的重要性。

因此，开发了一个“比较器仪表板”来满足这一需求，将搜索过程中获得的主要见解与关键信息综合在一起（图11). 仪表板中显示了三种类型的信息。首先，搜索到的解决方案总数显示在比较器顶部，以提醒您迄今为止执行的搜索范围。这主要是为了增加用户对最终备选方案相关性的信心和信念，或鼓励他们继续搜索。用户的解释仍然是纯粹主观的，因为即使是大量探索的解决方案（例如数千个），与解决方案空间的巨大相比，仍然是边缘化的。然而，研究表明，IO用户通常只执行很少的迭代，而方法的设计应该鼓励他们探索更多，而不是过早收敛(布坎南，1994年;加德纳和范德普顿，1997年;Miettinen等人，2010年). 第二，除了备选方案的数字标识符外，还显示了一个图形缩略图（如果可用），以表示备选方案并易于识别。备选方案的数值标识符。第三，所选标准的值以表格格式显示。根据目标受众和决策者的不同，这些值可以用完整的数值显示，用彩色强调最佳值和最差值（例如，绿色和红色字体颜色），也可以使用表情符号、红色成员-绿色圆点或基于星星的评级等强制性符号将其聚合为更定性的尺度(Ayres等人，2013年)。

3.应用

3.1. 案例研究描述

SAGESSE方法旨在支持具有许多决策变量且难以指定偏好的大型问题中的决策先验的城市规划通常体现了这种棘手的特点，并在下文中作为案例研究来说明该方法的适用性。事实上，城市规划者的主要作用之一是综合并仲裁所有城市利益相关者的冲突需求，提出并论证城市规划，该规划应作为几十年来实施特定建筑、基础设施、开放空间和植被的指南。确定达到预定目标的令人满意的计划的过程通常是漫长的、反复的。这一过程的困难因三个关键挑战而更加突出(Cajot等人，2017b):

•单个利益攸关方不太可能对所有行动者的需求有明确的认识，更不可能对他们之间的权衡和协同作用有准确和可量化的了解。

•政治目标和趋势的发展速度比城市项目的实现速度更快。

•战略规划阶段和更具体的设计阶段之间存在差距，因此很难预测早期决策的后果(deVries等人，2005年)。

因此，考虑到巨大的解决方案空间（建筑和能源设备的类型、大小和位置的选择）以及难以把握的偏好和价值观，在城市再开发项目的早期阶段支持决策尤其能从交互式优化中受益(Cohon，1978年;Balling等人，1999年)。

下文将展示一个在城市街区再开发中寻找首选替代方案的案例，说明上述各种探索性和指导性特征。

3.2. 分析

这里介绍的案例研究包括一个由大约300栋建筑组成的瑞士社区的重建项目。规划者必须实现的主要冲突目标包括：（i）提高住宅建筑密度，（ii）减少总体温室气体排放，以及（iii）提高生活质量。优化模型的分析阶段包括与城市和能源规划团队的多次研讨会，以及对可用总体规划和法律文件的审查。在此阶段，确定了项目的范围，以及当地专家面临的主要问题、目标和制约因素。在SAGESSE的搜索阶段，用户不会重复整个过程，而是从选择项目边界和他们希望探索的关键标准开始。Cajot等人（2016）更详细地描述本阶段为相关城市发展项目分析的规划文件，以及Schüler等人（2018b）详细介绍了生成的混合整数线性规划（MILP）模型的组件。该MILP模型与SAGESSE方法的应用构成了规划支持系统URB^{国际奥委会}在中引入Cajot等人（2017c）.

3.3. 生成、探索和指导

创建新项目后，用户将面临一个空图表。这个空白图表迫使他们思考项目中最有价值的方面，换句话说，他们试图实现什么。例如，他们可能会开始探索城市规划中三个重要且经常相互冲突的标准之间的权衡：建筑面积比（FAR）或建筑密度（最大化）、可再生能源（RES）份额（也最大化）以及与相应决策相关的总成本（最小化）。如果他们知道先验的在理想或可行的密度项目中，他们可以直接指定一个密度范围进行探索。如果没有，他们可以通过在FAR轴上指定目标，轻松计算邻域的最小和最大可实现密度（图第7章). 第一次，他们依赖于默认的“更多”FAR偏好，求解器返回最大密度1.27，对应于在所有合法可加高的建筑上建造额外楼层的邻里。第二次，他们将FAR的首选项设置为“less”，解算器返回1.17的密度，这与邻域的当前密度相对应。

这里的第一个问题是：在高密度地区，可再生能源的高份额能否实现？了解了可实现密度的界限后，他们可以放弃这些界限，继续探索密度在1.17到1.27之间、RES份额在0到100%之间、成本最低的解决方案之间的权衡。这是通过在总成本轴上刷一个目标，并在其他两个轴上用Sobol序列指定一个范围来实现的（图7亿)。

如图所示7亿似乎，用户只需5个解决方案就可以意识到，令人满意的RES份额（0.88）与高密度（1.25）兼容，尽管成本较高（5.97 MCHF/y）。因此，问题变成了：在保持可再生能源和密度的可接受份额的同时，可以降低多少成本？为了回答这个问题，他们在建筑面积比率和可再生能源轴的上部刷了新的范围，以将搜索范围缩小到那些感兴趣的区域，并期望找到一种总成本低于当前最昂贵解决方案的配置（图7摄氏度). 出现了一系列更便宜的解决方案，用户可以对其进行筛选，以揭示与FAR或RES之间的权衡，从而降低成本。如右图所示7摄氏度，用于指定约束的Sobol序列保证了对感兴趣区域的均匀快速探索。根据用户的要求，首先在整个轴上进行采样，然后将重点放在上部区域，如FAR和RES轴上部更紧凑的线所示。

继续此过程，用户可以回答更多问题，例如：哪些其他方面解释了成本？或者：哪些能源技术导致了可再生能源的这些份额？例如，他们可能对拟议解决方案中剩余的燃油锅炉数量感兴趣，因为出于环境原因，政治目标旨在减少燃油锅炉数量。

通过下拉菜单包括分散式燃油锅炉轴（图8安)，他们意识到附近仍有大约60个不受欢迎的燃油锅炉（图中的红色多段线8安)最初是以现状存在的。为了评估数量急剧减少的后果，他们规定了一个限制条件，以防止在所有即将推出的解决方案中使用燃油锅炉，同时继续探索具有高密度（>1.24）和高可再生能源份额（>0.8）的成本最优解决方案。这就产生了十个没有燃油锅炉的新解决方案（图中的蓝色多段线8安)。

与包含燃油锅炉的解决方案相比，燃油锅炉数量的减少对RES份额的总成本和性能影响不大。为了解释这种效果的缺乏，用户可以进一步探索有关燃油锅炉和其他技术的不同标准，以找出它们各自对社区能源供应的贡献。然而，在这种情况下，每栋建筑和每种能源技术的年度能源供应的地图表示更适合提供所有技术的概览。含有燃油锅炉（未显示）的溶液图实际上与不含燃油锅炉的溶液图相似（如图8摄氏度)，以区域供暖和木质锅炉为主，为建筑物供电。这表明，燃油锅炉仅被少量用于满足峰值负荷，可以被其他已安装技术所替代，但成本增加有限。

由于健康问题，城市中心也应避免使用木质锅炉，用户对木质锅炉轴重复此过程，并要求五个新的解决方案（图8B类). 请注意，在图中8A、B，影响高亮多段线生成的轴将相应着色，参见第2.3.3节。木质锅炉的新限制导致了一个由太阳能光伏板和地源热泵和空气源热泵主导的系统。此外，五个解决方案中有三个是不可行的，这表明如果不依赖木质锅炉，就很难实现RES超过0.88的份额。总的来说，没有木质锅炉的解决方案也比以前依赖木质锅炉和区域供暖的解决方案成本更高（图8B类). 在对木质锅炉添加限制后，不再选择区域供暖的原因（图第8天)用于区域供热的可用集中技术不允许实现更高的RES限制。将深层地热或附近的湖泊作为热源纳入模型，可能会使区域供暖再次成为解决当前问题的可行方案。

在这一点上，用户可以继续询问例如社会或经济问题，例如建筑业主和能源供应商之间的成本分配，密度增加对美学地标景观的影响等。然而，随着解决方案生成过程的发展，解决方案和标准的数量迅速增长。这就是MADA和聚类分析可以进一步支持探索的地方。为了对哪种解决方案表现最好有一个大致的了解，TOPSIS方法被实时应用于当前的解决方案，并相应地着色（图9安). 由于FAR轴集中在一个相对较小的范围内（1.19–1.26），因此采用“最大-最小”标准化，以确保该标准与其他标准同等影响最终得分（第2.7.4节）。该“得分”轴支持检查表现最佳的解决方案，即相对于TOPSIS指标而言，最平衡的解决方案。例如，通过仅显示得分最高的解决方案，用户可以评估（i）解决方案是否反映了他们的偏好，以及（ii）改进任何标准需要哪些权衡。为了便于说明，此处仅计算前三个轴的分数，以便也可以在3D散点图中显示。这些图有助于解释TOPSIS方法的基本概念（图9B、C). 事实上，与平行坐标相比，在三维图表中可以更直观地掌握理想解和实际解之间的几何距离，尽管这种可视化仅限于三个轴。

处理众多解决方案的另一种方法是执行聚类分析，以确定少数最具代表性的解决方案。在图中10，用户分别对执行了三次聚类分析k个=2、3、4簇。取决于他们愿意花时间进行更详细研究的解决方案的数量，或取决于聚类的质量（要么在散点图或平行坐标中进行视觉评估，要么依赖于轮廓指数等质量指数），采用了许多簇及其相应的代表性解决方案（即medoids）。图10天显示的聚类结果k个=平行坐标中的3个簇。颜色反映了属于同一簇的溶液，较粗的线表示每个簇的Medoid。

3.4. 合成

在生成和探索了几个备选方案之后，用户可以将解决方案的数量缩小到只选择最有希望的解决方案的子选项，并将它们添加到比较器仪表板（图11). 他们选择了七个轴，包括一个新的标准（“性能证书份额”），该标准表明根据各种能源性能标准翻新的建筑物份额。地图缩略图反映了这一标准，其中较浅的红色表示建筑物按照更严格的能源标准进行了翻新。从目前生成的27个解决方案中，添加的三个解决方案对应于根据所选标准进行的聚类分析的三个中位数。第一个解决方案（ID 11）成本效益最高（以绿色突出显示），但在最后五个指标中表现最差（以红色突出显示）。在第二种解决方案（ID 10）中，该社区几乎全部由可再生能源供应，但仍依赖石油和木材锅炉来满足部分需求。最后，第三种解决方案（ID 27）能够实现85%的可再生能源，部分通过翻新83%的建筑存量，但成本几乎是第一种解决方案的两倍。

3.5。系统性经验

通过亲自完成系统搜索过程，用户对问题和自己的偏好有了更好的了解。沿途提出了新的问题，可以即时回答。本次演示的主要学习点可以概括为：关于最大可实现密度的知识、实现高度可再生能源社区所需的成本、相应的密度阈值以及在没有木质锅炉的情况下可实现的最大可再生能源份额。总的来说，这种对极端情况的了解，以及对搜索阶段获得的冲突目标之间的权衡和临界点的更好理解，让用户更有信心证明所选解决方案的合理性，或证明其他解决方案被放弃的原因。此外，通过在综合阶段并排制定解决方案再选择的主要标准，用户可以做出明智的决策，并向其他利益相关者证明其合理性并进行沟通。

4.讨论

4.1. 该方法的优势

提出了一种新的交互式优化方法，使用户能够实时同时生成和探索大型问题的解空间。它旨在解决当前交互式优化方法中的四个主要差距，即处理许多目标和备选方案的能力，以有效的方式探索后者，有效地传达结果，并保持总体上的简单性，让不熟悉优化的用户可以访问。此外，在一个城市系统设计问题中进行了演示和应用。这些贡献总结如下。

•可访问：平行坐标为交互式优化提供了一个有效的框架，因为它们为探索各种标准和备选方案提供了单一入口点，同时也提供了一种直观自然的方式来指定首选项。通过减少用户所需的认知努力，该方法允许交互式优化以造福更广泛的受众。实际上，学习曲线基本上局限于理解平行坐标，而不是优化的技术方面和术语。

•快速高效：精确数学规划和准随机抽样的结合使用为快速探索大型多维空间提供了一种有效的方法。实时过程允许用户在任何时候调整探索的区域，同时基于so-far获得的解决方案。

•改进的平行坐标：虽然平行坐标的主要局限性，如混乱和限制轴的成对比较是众所周知的，并且通常通过刷涂、线着色和手动轴重新排序来解决，但本工作从四个方面扩展了传统的平行坐标。首先，探索平行坐标的传统范式现有的通过以下能力增强了数据动态地用所需的解决方案填充图表。其次，可搜索的轴选择菜单被附加到图表中，以动态自定义可见轴。通过在回答初始问题和出现新问题时动态切换轴的可见性，这允许使用数百个标准。第三，可以交互执行聚类分析，以将用户的注意力集中在最独特的解决方案上。第四，链接视图允许以三维散点图的形式探索整个数据集，而单个解决方案可以超越平行坐标中数据的纯粹定量性质。在本文中，使用了地图，但其他类型的可视化（图像、流程图、时间序列…）的生成可以以类似的方式链接到多段线。

•多属性多目标决策分析：利用MODA和MADA的互补优势，为用户提供以价值为中心的方法，以生成良好的替代方案，同时也为他们提供排名和选择最佳方案的帮助。

4.2. 局限性和展望

•不同的缩放功能：虽然ϵ-约束方法因上述原因而受到青睐，但探索其他方法可能会很有趣。例如，Cohon（1978年第157页）指出，加权和法的一个潜在有用的副产品是权重本身。将导致用户偏好解决方案的隐含客观权重告知用户，这可能会很有趣，也很有见地。

•多用户使用：假设只有一个用户参与，通常是不现实的，因为决策者通常要么是受更大群体利益影响并代表其利益的代理人，要么实际上是一个群体(Zionts，1994年). 虽然该方法的多用户应用程序尚未测试，但web界面和底层数据模型的设计目的是为每个项目处理多个用户。因此，未来的研究应调查如何由同一房间的多个用户（例如，在跨学科研讨会期间）或远程多个用户使用该工具来建立共识。在这方面已经进行了一些研究，并提供了有用的起点。Babbar-Sebens等人（2015）研究了其交互式优化工具的多用户应用程序。他们提出了一种“民主”的方法，将多个用户的评级聚合成一个共同的偏好模型，用于指导搜索。费雷拉等人（2006）还为用户提示交互式优化工具提出了一个多用户框架，该工具由do Nascimento和Eades（2005）他们研究了竞争与合作在确定新解决方案方面的影响，并提出了几种机制，以在一群用户之间共享个人搜索的最佳解决方案。可以设想使用平行坐标的各种方法，例如突出显示一组用户最常请求的线，根据其他用户认为重要的轴推荐轴，或者允许多个用户与同一个图表交互，共同指定感兴趣的范围。

•改进平行坐标特征：该方法仅利用了平行坐标的许多可能功能中的一部分。未来的工作可能涉及并测试：

i.轴的智能排序，例如通过详尽的成对描述(Heinrich和Weiskopf，2013年)通过相互冲突的目标，优先考虑那些最突出的帕累托前沿(Unal等人，2017年)，通过基于相似性的重新排序(Lu等人，2016)，使用三维平行坐标(Johansson和Forsell，2016年)，或通过视觉(基尼，1992年第57页）或自动降维技术(Copado-Méndez等人，2016年),

ii、。改进了折线和图案的可视化，例如将簇可视化地捆绑成紧凑的多边形(Palmas等人，2014年)，或使用多项式曲线和其他线型来强调各种数据属性(Franken，2009年;Heinrich和Weiskopf，2013年),

iii.时间序列的处理，例如，使用第三维来显示时间演变(Gruendl等人，2016年)，通过在相邻轴上绘制多个时间步长(Franken，2009年)或者为每个时间步制作一系列图表的动画(Heinrich和Weiskopf，2013年),

iv.轴的动态重新缩放，以允许刷过可见值（当前刷过可见轴需要手动编辑绑定在特别的表）。

•标准选择：虽然这项工作主要集中在决策过程中正确生成备选方案，但确定适当的决策标准也同样重要(基尼和雷法，1976年;León，1999年;邦德等人，2008年;Malczewski和Rinner，2015年)。基尼和雷法（1976）特别要注意，决策标准集的两个主要属性是完整性和非冗余性。关于完整性，该方法在城市规划从业人员中的首次应用揭示了其在激发讨论和确定缺失标准方面的潜力，基尼（1992）第57页）指出，当目标被明确列出并可视化时，识别冗余就变得相当容易了，而平行坐标在这方面当然有帮助。采用降维技术，如Copado-Méndez等人（2016）此外，还可以在未来应用，为DM提供一组最少的非冗余轴。然而，可以说，在方法论的探索部分不一定要避免冗余，例如在某些情况下，对怎样两个冗余的标准相互关联可能很有趣。

•扩大MADA：出于演示目的，仅实施了TOPSIS方法。包括各种方法可以让用户选择他们最喜欢的方法，或与他们的情况最相关的方法(Cajot等人，2017年a). 例如，加权和法可能更受欢迎，而排名靠前的ELECTRE方法或层次分析法可能会导致更可靠的结果，但代价是花费更多时间从用户处获取成对偏好信息(Zanakis等人，1998年)。

•简化转向过程：目前，用户仍然可以对影响搜索的转向操作进行特定控制。这对于一个有经验的用户来说尤其有意义，他们的目标是实现特定的结果。一个新手用户是否真的需要如此详细的控制，以及目标、范围和约束之间的区别是否可以消除，都值得怀疑(Wolf等人，2009年). 未来的工作可能会探索转向过程的更完整自动化，其中用户绘制的常规“过滤”刷会自动解释为转向操作，即目标和范围。在这种情况下，默认情况下，Sobol采样可以应用于最大已知边界的所有可见标准，并且只要用户应用画笔，探索的空间就会减少。这种方法的主要局限性是，用户与底层机制失去联系，对特定操作的控制较少（例如，设置约束），这可能会导致在不太相关的解决方案上浪费计算精力。Liu等人（2018）认为与求解者的互动是在模型和结果中建立信任的关键，方法越不透明，用户不接受和误解的风险越大。

•机器学习：这种方法产生大量数据，因此非常适合利用机器学习。Merkert等人（2015）强调机器学习可以为决策支持系统带来的三个主要贡献：（i）更高的有效性，（ii）效率和（iii）自动化程度。通过学习用户执行的操作（选定的目标、画笔的上下限、打开或关闭的轴、添加到比较器面板的解决方案等），这些操作至少可以部分自动化，以支持用户。施奈德曼（2010），第78页）指出，“随着程序变得更加标准化和生产力压力的增加，自动化程度会随着时间的推移而提高。”可以说，这可以加快过程，避免错误，并减少用户的认知努力。另一方面，应权衡利益与用户与流程疏远的风险，从而妨碍用户对最终解决方案的信任(Liu等人，2018年). 最终，人机交互的目的是根据各方的能力将任务最佳分配给各方。计算机在越来越多的任务（例如图像和模式识别）中的表现越来越优于人类，这一事实需要重新思考人类在交互方法中的角色，以及这些方法是如何设计的。一个问题是，是否让用户为了学习而执行一些任务，即使计算机可能比他们做得更好或更快。

5.结论

5.1. 人-机思维

传统的交互方法倾向于明确区分学习阶段、偏好表达阶段和解决方案的生成，而拟议的方法则将这三个阶段融合为一种综合的、更具沉浸感的体验。实际上，在优化运行期间，不需要中断对解决方案的探索：一旦找到解决方案，它就会直接包含在图表中，并进入用户的思维中，供用户进行解释。通过各种探索性功能，用户会注意到标准之间的关系，以及为了获得其他标准的价值，他们愿意在一个标准中牺牲多少。每一个新的解决方案都更加明确了需要解决的关键矛盾，从而可以将搜索细化到最相关的领域。

因为涉及人类的阶段和涉及计算机的阶段同时发生，所以整体可以被视为“基于优化的思维过程”。计算机优化成为用户思维的延伸，同时，用户思维成为优化的延伸。Vinge（1993）预计需要更少的“口头”和更对称的决策支持系统，在这些系统中，程序为用户提供的信息与用户提供的程序指导一样多。他写道：“计算机/人的界面可能变得如此亲密，用户可能会被合理地认为是超人类智能的。”SAGESSE提供的人与计算机之间直接和对称的联系是朝着这个方向迈出的一步。

5.2. 智慧的源泉

最后，SAGESSE（法语为智慧)是故意选择的，因为智慧关系到“辨别内在品质和关系的能力”(《韦伯斯特词典》，1976年），这正是该方法所提供的。我们希望，平行坐标的吸引力和优化带来的强大洞察力，结合在所提出的方法中，将促进从最恶劣的问题中学习。正如希腊哲学家柏拉图所暗示的那样(共和国2.376b），“对学习的热爱不就是对智慧的热爱吗？这就是哲学？”

作者贡献

列出的所有作者都对这部作品做出了实质性、直接和智力上的贡献，并批准出版。

基金

作者感谢日内瓦州以及欧洲委员会在开展FP7-PEOPLE-2013玛丽·居里初始培训网络CI-NERGY项目研究期间提供的财政支持，该项目的赠款协议编号为606851。

利益冲突声明

作者声明，该研究是在没有任何可能被解释为潜在利益冲突的商业或金融关系的情况下进行的。

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