我们得到了在欧氏空间或任意维球面上参数化的光滑各向同性高斯随机场临界点的期望数目和高度分布的公式。结果普遍认为，除了平滑度和各向同性外，对场的协方差函数没有任何限制。结果基于高斯场的高斯正交不变量（GOI）矩阵族对高斯场的黑森分布的表征，其中高斯正交系综（GOE）是一种特殊情况。所得到的公式仅通过一个参数（欧氏空间）或两个参数（球体）依赖于协方差函数，并且包括随机拉普拉斯特征函数的特殊边界情况。