设$X，X_{1}，\dots，X__{n}，\ dots$是可分Banach空间$E$中以i.i.d.为中心的高斯随机变量，其协方差算子为$\Sigma$：

\[\Sigma:E^{\ast}\mapsto E，\qquad\Sigma u=\mathbb{E}\langle X，u\rangle X，\qquid u\inE ^{\asp}.\]样本协方差运算符$\hat{\Sigma}:E^}\ast}\mapstoE$定义为

\[hat{\Sigma}u:=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}\langle X_{j}，u\rangle X_{j}，E^{\ast}中的qquad u.]本文的目标是获得样本协方差算子与真协方差算子偏差的算子范数$\Vert\hat{\ Sigma{-\Sigma \Vert$的浓度不等式和期望界。特别是，它表明

\[\mathbb{E}\Vert\hat{\Sigma}-\Sigma-\Vert\asymp\Vert\Sigma\Vert（\sqrt{\frac{{\mathbf{r}}（\Sigma）}{n}}\vee\frac{\\mathbf}}

\[{\mathbf{r}}（\Sigma）：=\frac{（\mathbb{E}\VertX\Vert）^{2}}{\Vert\Sigma\Vert}.\]此外，还证明了在${\mathbf{r{}（\siga）\leqn$的假设下，对于所有$t\geq1$，概率至少为$1-E^{-t}$

\[\vert\vert\hat{\Sigma}-\Sigma \vert-M\vert\lesssim\vert\Sigma\vert（\sqrt{\frac{t}{n}}\vee\frac{t}{n{），\]其中$M$是中值，或者是$\vert\hat{\Sigra}-\Sigma\vert$的期望值。另一方面，假设${mathbf{r}}（\Sigma）\geqn$，对于所有$t\geq1$，概率至少为$1-e^{-t}$

\[\vert\vert\hat{\Sigma}-\Sigma \vert-M\vert\lesssim\vert\Sigma\vert（\sqrt{\frac{{\mathbf{r}}（\Sigma-）}{n}}\sqrt{\frac{t}{n{}}\vee\frac{t}}}）。\]