用$\chi（G）$表示的图$G$的色数是最小值$k$这样，$G$允许顶点集的$k$着色颜色类是一个独立的集（成对的非相邻顶点集）。用$\chi_a（D）$表示的有向图$D$的二色数是最小值$k$使得$D$允许其顶点集的$k$-着色每个颜色类都是非循环的。1976年，Bondy证明了有向图$D$的色数最多为它的周长，最长周期的长度。给定一个有向图$D$，我们将构造三个不同的图，它们的色数字绑定$\chi_A（D）$。此外，我们证明了：i）对于整数$k\geq2$、$s\geq1$和$r_1，\ldots，r_s$，其中$k\geq r_i\geq 0$和$r_i\neq 1$用于[s]$中的每个$i\，如果全部对于某些$r\in\{r_1，\ldots，r_s\}$，$D$中的循环的长度为$r$模$k$，然后$\chi_A（D）\leq 2s+1$；ii）如果$D$具有周长$g$并且存在整数$k$和$p$，其中$k\geq g-1\geq p\geq 1$使得$D$不包含长度循环每个$r的$r$模$\lceil\frac{k}{p}\rceil p$\{-p+2，\ldot，0，\ldots，p\}$，然后$\chi_A（D）\leq\lceil\frac{k}{p}\rceil$；iii）如果$D$有周长$g$，则为最短周期的长度和周长$c$，然后$\chi_A（D）\leq\lceil\frac{c-1}{g-1}\rceil+1$，这将提高，实质上是邦迪提出的界限。我们的结果表明，如果关于有向图中循环长度的更多信息，然后我们可以改进迄今为止已知的二色数的界。