摘要

让$\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}$是具有恒等式的乘写幺半群${\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}}$（尤其是组），并表示为${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$通过赋予所有有限子集的集合而获得的幺半群$\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}$包含具有集合乘法运算的单元$<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="Y">Y（Y）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\mapsto ">\mapsto </trans><trans\; data-src="\{">\{</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src=":">:</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="X">X（X）</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="Y">Y（Y）</trans>}<trans\; data-src="\}">\}</trans>$.我们学习该结构和相关结构的算术的基本特征，重点是次单体，${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$，第页，共页${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$包括所有有限子集$\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}$包含身份。

除其他外，我们确定${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$是原子的（即每个非均匀性都是原子的乘积）当且仅当${\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}}<trans\; data-src="\ne ">\ne </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\ne ">\ne </trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}$对于每个$\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src="\setminus ">\setminus </trans><trans\; data-src="\{">\{</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}}<trans\; data-src="\}">\}</trans>$.然后我们证明这一点${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$是BF（即它是原子的，每个元素都有有界长度的因式分解），如果和只有$\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}$无扭转；我们展示了如何将这些结论从${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$到${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$通过同构机制。

接下来，我们引入一个合适的概念“最小因式分解”（并研究它的关于同构的行为）来解释幺半群可能具有非平凡幂等元，在这种情况下，来自因子分解的标准定义理论退化。因此，我们获得了${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$为BmF（意味着每个非均匀至少有一个最小值因式分解和所有此类因式分解的长度都是有界的）；和用于${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$成为BmF，HmF（即BmF-幺半群，其中给定的元素具有相同的长度），或最小阶乘（即BmF-幺半群其中每个非一致元素都有一个本质上唯一的最小因式分解）。最后，我们证明了如何将某些区间实现为${\mathcal{<trans\; data-src="𝒫">𝒫</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="f">（f）</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="n">n个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="H">H（H）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$.

许多证明归结为考虑循环群中的集合分解，因此与算术组合学产生有趣的相互作用。

关键词

2010年数学学科分类

里程碑

作者