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我们引入函子哪一个分配给每个度量空间它的对称联接.作为一个集合，是连接中有序点对的区间的并集拓扑上，是的自然商的通常连接和它自己。我们定义了–不变量米制的在. 众所周知的经典概念并且对于任何双曲复数
，用于Gromov双曲群的Cayley图的示例。我们定义了一个双重差异，一个交叉比和小时功能在紧致化中.它们是连续的，–不变量，并满足尖锐的身份。我们描述了平移长度双曲线的等距. 对于任何双曲复数,对称联接属于和（广义）米制的对其进行了定义。这个测地流空间作为…的一部分出现.是一个单连通上单位切线丛（总空间）的模拟反向弯曲歧管。此流动空间定义为任何双曲复数和具有尖锐的属性。我们还给出了非对称联接
属于两个度量空间。 这些概念是正则的、和不涉及“准”语言。Borel猜想和还讨论了其他问题。
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